高中数学复习第三讲 平面向量（四大考向)(解析版).docxVIP

第三讲平面向量（四大考向)

一：考情分析

命题解读

考向

考查统计

高考对平面向量的考查，一般为平面向量基本定理、坐标运算、平面向量数量积的运算、化简、证明及数量积的应用问题，如平行、垂直、距离、夹角等问题的计算，难度一般不高。

平面向量的线性运算

2022·新高考Ⅰ卷，3

平面向量垂直的坐标运算

2023·新高考Ⅰ卷，3

2024·新高考Ⅰ卷，3

平面向量夹角的坐标运算

2022·新高考Ⅱ卷，4

平面向量数量积的综合运算

2023·新高考Ⅱ卷，13

2024·新高考Ⅱ卷，3

二：2024高考命题分析

2024年高考新高考Ⅰ卷和Ⅱ卷都考查到了平面向量的垂直运算，Ⅱ卷还结合了数量积的综合运算。总体上来说，平面向量知识点的考查难度依旧是较易的，掌握基本的知识点和拥有基本的运算能力即可。平面向量考查应关注：平面向量基本定理、向量的坐标运算、向量数量积、向量平行与垂直、向量模等知识点，体会数形结合思想，强化运算求解能力与转化化归能力。预计2025年高考还是主要考查向量的数量积运算、向量的夹角、向量的模。

三：试题精讲

一、单选题

1．（2024新高考Ⅰ卷·3）已知向量，若，则（????）

A． B． C．1 D．2

【答案】D

【分析】根据向量垂直的坐标运算可求的值.

【详解】因为，所以，

所以即，故，

故选：D.

2．（2024新高考Ⅱ卷·3）已知向量满足，且，则（????）

A． B． C． D．1

【答案】B

【分析】由得，结合，得，由此即可得解.

【详解】因为，所以，即，

又因为，

所以，

从而.

故选：B.

高考真题练

一、单选题

1．（2022新高考Ⅰ卷·3）在中，点D在边AB上，．记，则（????）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据几何条件以及平面向量的线性运算即可解出．

【详解】因为点D在边AB上，，所以，即，

所以．

故选：B．

2．（2023新高考Ⅰ卷·3）已知向量，若，则（????）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】根据向量的坐标运算求出，，再根据向量垂直的坐标表示即可求出．

【详解】因为，所以，，

由可得，，

即，整理得：．

故选：D．

3．（2022新高考Ⅱ卷·4）已知向量，若，则（????）

A． B． C．5 D．6

【答案】C

【分析】利用向量的运算和向量的夹角的余弦公式的坐标形式化简即可求得

【详解】解：,,即,解得,

故选：C

二、填空题

1．（2023新高考Ⅱ卷·13）已知向量，满足，，则．

【答案】

【分析】法一：根据题意结合向量数量积的运算律运算求解；法二：换元令，结合数量积的运算律运算求解.

【详解】法一：因为，即，

则，整理得，

又因为，即，

则，所以.

法二：设，则，

由题意可得：，则，

整理得：，即.

故答案为：.

知识点总结

一、向量的线性运算和向量共线定理

（1）向量的线性运算

运算

定义

法则（或几何意义）

运算律

加法

求两个向量和的运算

三角形法则平行四边形法则

①交换律

②结合律

减法

求与的相反向量的和的运算叫做与的差

三角形法则

数乘

求实数与向量的积的运算

（1）

（2）当时，与的方向相同；当时，与的方向相同；

当时，

二、平面向量基本定理和性质

1、共线向量基本定理

如果，则；反之，如果且，则一定存在唯一的实数，使．（口诀：数乘即得平行，平行必有数乘）．

2、平面向量基本定理

如果和是同一个平面内的两个不共线向量，那么对于该平面内的任一向量，都存在唯一的一对实数，使得，我们把不共线向量，叫做表示这一平面内所有向量的一组基底，记为，叫做向量关于基底的分解式．

3、线段定比分点的向量表达式

如图所示，在中，若点是边上的点，且（），则向量．在向量线性表示（运算）有关的问题中，若能熟练利用此结论，往往能有“化腐朽为神奇”之功效，建议熟练掌握．

D

D

A

C

B

4、三点共线定理

平面内三点A，B，C共线的充要条件是：存在实数，使，其中，为平面内一点．此定理在向量问题中经常用到，应熟练掌握．

A、B、C三点共线

存在唯一的实数，使得；

存在唯一的实数，使得；

存在唯一的实数，使得；

存在，使得．

5、中线向量定理

如图所示，在中，若点D是边BC的中点，则中线向量，反之亦正确．

D

D

A

C

B

三、平面向量的坐标表示及坐标运算

（1）平面向量的坐标表示．

在平面直角坐标中，分别取与轴，轴正半轴方向相同的两个单位向量作为基底，那么由平面向量基本定理可知，对于平面内的一个向量，有且只有一对实数使，我们把有序实数对叫做向量的坐标，记作．

（2）向量的坐标表示和以坐标原点为起点的向量是一一对应的，即有

向量向量点．

（3）设，，则，，即两个向量的和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差．

若，为实数，则，即实数与向量的积的坐标，等