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2022年高考数学总复习：三角函数的值域和最值问题

例1(1)(2018·石家庄一模)若函数f(x)＝3sin(2x＋θ)＋cos(2x＋θ)(0θπ)的图

πππ

象关于(，0)中心对称，则函数f(x)在[－，]上的最小值是(B)

246

A．－1B．－3

13

C．－D．－

22

ππππ

[解析]f(x)＝2sin(2x＋θ＋)，又图象关于(，0)中心对称，所以2×＋θ＋＝kπ，k∈

6226

Z.

7π5π

所以θ＝kπ－，又0θπ，所以θ＝，

66

所以f(x)＝－2sin2x，

ππ

因为x∈[－，]，

46

ππ

所以2x∈[－，]，f(x)∈[－3，2]，

23

所以f(x)的最小值是－3.

ππ

(2)已知函数f(x)＝2sin(2x＋)，记函数f(x)在区间[t，t＋]上的最大值为M，最小值为m，

64

π5π

设函数h(t)＝Mt－m.若t∈[t，]，则函数h(t)的值域为[1,22].

1212

πTπ2π

[解析]由已知函数f(x)的周期T＝π，区间[t，t＋]的长度为.作出函数f(x)在[，]

44123

的图象．

π5πππππ

又t∈[，]，则由图象可得，当x∈[，]时，h(t)取最小值为f()－f()＝2－1＝1，

121212363

π2πππ7π

当x∈[，]时，函数f(x)为减函数，则h(t)＝f(t)－f(t＋)＝22sin(2t－)，所以当t＝时，

6341224

h(t)的最大值为22，故所求值域为[1,22]．

『规律总结』

三角函数值域(最值)的三种求法

(1)直接法：利用sinx，cosx的有界性直接求．

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(2)单调性法：化为y＝Asin(ωx＋φ)＋B的形式，采用整体思想，求出ωx＋φ的范围，

根据y＝six的单调性求出函数的值域(最值)