常数项级数的概念和性质.pptVIP

性质4对收敛的级数加括号后所得到的新级数仍然收敛，且其和不变.一、问题的提出正形的面积正六边形的面积1.计算圆的面积正十二边形的面积常数项级数的概念常数项级数的定义设有数列{un}:u1,u2,…,un,…,则称表达式为一个常数项级数，简称级数.其中，un称为常数项级数的一般项或通项.0102例1.下列各式均为常数项级数常数项级数的敛散性定义01常数项级数级数02的前n项之和：03称为常数项级数的部分和.04若05存在，则称级数06收敛，07S称为级数的和：08观察雪花分形过程第一次分叉：依次类推播放第次分叉：面积为周长为于是有01.结论：雪花的周长是无界的，而面积有界．02.雪花的面积存在极限（收敛）．5%55%30%10%的敛散性.当公比|r|1时，解：等比级数的部分和为：即例2.讨论等比级数当公比|r|1时，当公比r=1时，当公比r=?1时，Sn=a,n为奇数0,n为偶数,故不存在.综上所述，当公比|r|1时,等比级数收敛；当公比|r|?1时，等比级数发散.的敛散性.解：?例3.讨论级数01而02故03，即该级数收敛.收敛级数的和S与其部分和Sn的差S?Sn称为收敛级数的余项，记为显然3.收敛级数的余项定理：若级数收敛，则必有证设级数收敛的必要条件故02该级数发散.03的敛散性.01例4.判别解：由于04证调和级数的部分和有：是发散的.例5.证明调和级数由数学归纳法，得k=0,1,2,?不存在，即调和级数发散.而故0103050204若c?0为常数，则有相同的敛散性，且无穷级数的性质性质1证01的部分和为02的部分和为03故04从而05同时收敛或同时发散.0601若02其和分别为S1和S2，则级03数04且05性质2证的部分和为：故即级数收敛，且例6.因为等比级数所以级数1243例7.问题(1)一个收敛级数与一个发散级数的和是收敛的还是发散的？答：是发散的.问题(2)两个发散的级数之和是收敛的还是发散的？答：不一定.123401在一个级数的前面加上或者去掉有限项后，所得到的新的级数与原级数的敛散性相同.(但对收敛级数来说，它的和将改变.)02性质35%55%30%10%证设级数面m项后得到的级数的部分和为Sn,去掉级数的前的部分和为Sk:010203由于Sm当m固定时为一常数，所以故级数与级数