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十六进制转换的研究

序

本文详细阐述了二进制、十进制、八进制及十六进制这四种数制间相互转换的方法与步骤。在进行转换操作时，务必细心留意所采用的转换技巧，特别是当十进制数转换为其他三种数制时，需将转换过程细分为整数部分与小数部分的处理，并精确确定小数点的位置，以确保转换结果的准确无误。

进位制

进位制，亦称位置计数法或位值计数法，是一种高效的记数系统，能够利用有限的数字符号来表征无限的数值范围。该系统所依赖的可选数字符号的数量被定义为基数（radix）或底数。当基数设定为n时，我们称之为n进位制，简称n进制。在当今的数字表示中，十进制无疑是最为普及的，它巧妙地运用了0至9这十个阿拉伯数字来进行数值的记录与表达。

进制转换

一、十进制与二进制之间的转换

十进制转换为二进制

需分为整数部分和小数部分

①整数部分

方法说明（辗转相除法，基数除法）：采用“除2取余法”进行二进制转换，具体操作是，将待转换的整数部分反复除以2，每次除法的余数即为对应位权上的数字，同时以商作为新的被除数继续除以2，如此循环，直至商为0。最后，从最后得到的余数开始，依次向前读取每一位的余数，即构成了该整数的二进制表示。

例：将十进制的168转换为二进制

得出结果：将十进制的168转换为二进制，

分析：

第一步，将168除以2,商84,余数为0。

第二步，将商84除以2，商42余数为0。

第三步，将商42除以2，商21余数为0。

第四步，将商21除以2，商10余数为1。

第五步，将商10除以2，商5余数为0。

第六步，将商5除以2，商2余数为1。

第七步，将商2除以2，商1余数为0。

第八步，将商1除以2，商0余数为1。

第九步，读数，因为最后一位是经过多次除以2才得到的，因此它是最高位，读数字从最后的余数向前读，②小数部分

方法说明：采用“乘2取整法”进行小数部分的二进制转换，具体操作为，首先将小数部分乘以2，并提取其整数部分作为当前位的二进制数，随后以剩余的小数部分继续乘以2，并再次提取整数部分，此过程不断重复，直至小数部分变为0或达到所需精度。

若小数部分始终无法归零，则仿照十进制数的四舍五入原则处理，即根据所需保留的小数位数，观察其后一位数字是0还是1来决定是否进位。

若后一位为0，则直接舍去；若为1，则向前一位进1。简而言之，遵循“0舍1入”的原则。在读数时，从最初的整数部分开始，依次读出后续通过乘2取整得到的每一位整数。

例1：将0.125换算为二进制

得出结果：将0.125换算为二进制（0.001）

分析:

第一步，将0.125乘以2，得0.25,则整数部分为0,小数部分为0.25。

第二步,将小数部分0.25乘以2,得0.5,则整数部分为0,小数部分为0.5。

第三步,将小数部分0.5乘以2,得1.0,则整数部分为1,小数部分为0.0。

第四步,读数,从第一位读起,读到最后一位,即为0.001。

例2：将0.45转换为二进制（保留到小数点第四位）

从上述步骤可以清晰地观察到，当进行到第五次乘法运算时，我们得到了0.4作为结果，随后小数部分继续乘以2，依次得到0.8、再乘以2得到1.6，如此循环下去，我们会发现小数部分永远无法精确到0。因此，在这个情况下，我们借鉴十进制中的四舍五入法来处理。但值得注意的是，二进制仅包含0和1两个数字，所以在进行四舍五入时，我们遵循“0舍1入”的原则。尽管这种转换在计算机处理中会产生一定的误差，但由于我们通常保留足够多的位数，因此这种误差的精度非常高，几乎可以忽略不计。

基于上述方法，我们可以得出0.45转换为二进制后大约等于0.0111。

需要强调的是：

十进制数转换为二进制数的过程需要分为整数部分和小数部分分别进行。

其中，整数部分采用“除2取余法”，而小数部分则采用“乘2取整法”。

在读取结果时，请注意两者的读数方向是相反的。

因此，根据上述方法，我们可以将十进制数168.125转换为二进制001，或者如果采用0舍1入并保留4位小数位，则转换结果约0111。

2.二进制转换为十进制

不分整数和小数部分

方法说明：采用“按权相加法”来将二进制数转换为十进制数，具体步骤是，将二进制数中每一位上的数字乘以该位对应的权值（即2的幂次方，幂次根据位的位置从右至左递增），然后将这些乘积相加，所得之和即为该二进制数对应的十进制数值。

例：将二进制数101.101转换为十进制数。

得出结果：（101.101）2=(5.625)10

大家在做二进制转换成十进制需要注意的是：

要知道二进制每位的权值。

要能求出每位的值。

二、二进制与八进制之间的转换

首先，让我们明确一个重要的数学关系：2的3次方等于8，2的4次方等于16。正是基于这样的