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九年级数学经典例题

26．（12分）如图，已知抛物线y＝﹣x+bx+c与一直线相交于A（﹣1，0），C（2，3）两2

点，与y轴交于点N，其顶点为D．

（1）求抛物线及直线AC的函数关系式；

（2）若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，设点P的横坐标为t；

①当S△ACP＝S△ACN时，求点P的坐标；

②是否存在点P，使得△ACP是以AC为斜边的直角三角形？若存在，求点P的坐标；

若不存在，请说明理由；

（3）若抛物线的对称轴与直线AC相交于点B，E为直线AC上的任意一点，过点E作

EF∥BD交抛物线于点F，以B，D，E，F为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，请

直接写出点E的坐标；若不能，请说明理由．

【解答】解：（1）将A（﹣1，0），C（2，3）代入y＝﹣x2+bx+c中，得

{−+=1，

2+=7

解得{=2

=3

∴抛物线解析式为y＝﹣x2+2x+3，

设直线AC解析式为y＝mx+n，则

{−+=0，

2+=3

解得{=1，

=1

∴直线AC解析式为y＝x+1；

（2）①在y＝﹣x2+2x+3中，令x＝0，得y＝3，

∴N（0，3），

∵点P的横坐标为t；

∴P（t，﹣t2+2t+3），

过点P作PH⊥y轴于H，连PN，设直线AC交y轴于G，则G（0，1），∠PHN＝90°

∴OA＝OG＝1，PH＝t，HN＝OH﹣ON＝﹣t2+2t，

∴∠AGO＝∠CGN＝45°

∵S＝S

△ACP△ACN

∴PN∥AC

∴∠PNH＝∠CGN＝45°

∴PH＝HN

∴t＝﹣t2+2t，解得：t＝0（舍去），t＝1，

12

∴P（1，4）；

②如图2，过P作PS⊥x轴于S，过C作CK⊥PS于K，则∠CKP＝∠PSA＝90°

∵P（t，﹣t2+2t+3），A（﹣1，0），C（2，3），

∴CK＝2﹣t，PK＝﹣t2+2t，PS＝﹣t+2t+3，AS＝t﹣（﹣1）＝t+1，2

∵△ACP是以AC为斜边的直角三角形

∴∠APS+∠CPK＝∠APC＝90°

∵∠PCK+∠CPK＝90°

∴∠APS＝∠PCK

∴△APS∽△PCK

2

12

∴=，即=

2

232

3±5

解得：t=√

2

∵P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，

35

√

∴﹣1＜t＜2，但＞2

2

35

∴t=√

2

3555

√√

∴P（，）．

22

（3）∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）+42

∴顶点D（1，4）

∴B（1，2），BD＝2，

以B，D，E，F为顶点的四边形能为平行四边形．

2||

设点E（m，m+1），则F（m，﹣m+2m+3），EF=，

∵EF∥BD

∴EF＝BD

1−171+17

√√

||＝0，m＝1（舍去），m==

∴=2，解得：m1232，m42