九年级数学经典例题 (831).pdf

九年级数学经典例题

24．（10分）如图，平行四边形ABCD中，点P为CB延长线上点，连接DP交AC于点M、

交AB于点N，已知DA＝DC，∠ACD＝45°．

（1）求证：四边形ABCD为正方形；

（2）连接BM，若N为AB的中点，求tan∠BMP的值；

（3）若MN＝2，PN＝6，求DM的长．

【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，DA＝DC，

∴四边形ABCD是菱形，

∵DA＝DC，

∴∠ACD＝∠CAD＝45°，

∴∠ADC＝90°，

∴四边形ABCD为正方形；

（2）解：作BE⊥PD，如图所示：

则∠PEB＝∠MEB＝90°，

设正方形ABCD的边长为a，

∵四边形ABCD是正方形，

∴AD∥BC，AB∥CD，AB＝AD＝a，∠PBN＝∠DAB＝∠BCD＝90°，

∵N为AB的中点，

11

∴AN＝BN=AB=a，

22

在△BPN和△ADN中，{∠=∠，

=

∠=∠

∴△BPN≌△ADN（ASA），

22√212√5

∴BP＝AD＝a，PN＝DN=√+=+()=a，PC＝BP+BC＝2a，

22

∴PD＝2DN=5a，

√

∵AD∥BC，

∴△ADM∽△CPM，

1

∴==，

2

225

√

∴PM=PD=a，

33

∵∠PEB＝∠PCD＝90°，∠P＝∠P，

∴△PBE∽△PDC，

∴==，即==，

2√5

525

√√

解得：BE=a，PE=a，

55

45

√

∴EM＝PM﹣PE=a，

15

3

∴tan∠BMP==；

4

（3）解：MN＝2，PN＝6，

∴MP＝8，

∵AB∥CD，

∴AM：MC＝MN：MD，

∵AD∥BC，

∴AM：MC＝DM：MP，

∴MN：MD＝DM：MP，

∴MD＝MN•MP＝2×8＝16，2

∴MD＝4．