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九年级数学经典例题

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26．（12分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x+4x的顶点为点A

（1）求点A的坐标；

（2）点B为抛物线上横坐标等于﹣6的点，点M为线段OB的中点，点P为直线OB下

方抛物线上的一动点．当△POM的面积最大时，过点P作PC⊥y轴于点C，若在坐标平

31

面内有一动点Q满足PQ=，求OQ+QC的最小值；

22

1

（3）当（2）中OQ+2QC取得最小值时，直线OQ与抛物线另一交点为点E，作点E

关于抛物线对称轴的对称点E’．点R是抛物线对称轴上的一点，在x轴上是否存在点S，

使得以O、E′、R、S为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出S点的坐标；

若不存在，请说明理由．

【解答】解：（1）∵y＝x2+4x＝（x+2）2﹣4，

∴A（﹣2，﹣4）；

（2）如图1，过P作PH⊥x轴交OB于H，作PG⊥BC于G，过M作MD⊥y轴交y轴

于D，

∵点B为抛物线上横坐标等于﹣6的点，∴B（﹣6，12），

∴直线AB解析式为y＝﹣2x

222

设P（m，m+4m），H（m，﹣2m），PH＝﹣2m﹣（m+4m）＝﹣m﹣6m

∵点M为线段OB的中点，∴M（﹣3，6），∴MD＝3

∵PH∥y轴

∴∠PHG＝∠MOD

∵PG⊥BCMD⊥y轴

∴∠PGH＝∠MDO

∴△PGH∽△MDO

=22

∴，即PG•MO＝PH•MD＝3（﹣m﹣6m）＝﹣3m﹣18m，

13327

22

∴S=PG•MO=−−9m=−（m+3）+

△POM2222

3

＜

∵−0，∴m＝﹣3时，S△POM的值最大，此时P（﹣3，﹣3），

2

3

在PC上取点T，使得PT=，连接QT，OT，

4

3

∵PC＝3，PQ=2

1

∴==

2

∵∠QPT＝∠CPQ

∴△QPT∽△CPQ

11

∴==，即TQ=2QC，

2

1

∴OQ+2QC＝OQ+TQ≥OT

22√29215

∵OT=√+=3+()=

44

115

∴OQ+2QC的最小值为4；

19

（3）∵当（2）中OQ+2QC取得最小值时，点O、Q、T三点共线，T（−4，﹣3）

4

∴直线OQ解析式为y=x，

3

8

4=0=−

=123

解方程组