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九年级数学经典例题

24．（10分）如图，在平行四边形ABCD中，∠ACB＝45°，点E在对角线AC上，BE

延长线交CD于点F，交AD的延长线于点G．

（1）若BE=10，EC=2，求△BCE的面积；

√√

（2）若∠ABE＝2∠EBC，且AB＝BE，求证：EC＝DG．

【解答】解：（1）如图（1），过E作EN⊥BC于N，

∵∠ACB＝45°，

∴△ENC是等腰直角三角形，

∵CE=2，

√

∴EN＝NC＝1，

∵BE=10，

√

22√22

−=(10)−1=3，

∴BN=√√

∴BC＝3+1＝4，

1

∴△BCE的面积=×4×1＝2；

2

（2）如图（2），设∠EBC＝x，则∠ABE＝2x，∠AEB＝∠EBC+∠ACB＝45+x，

∵AB＝BE，

∴∠BAE＝∠AEB＝45+x，

∴2x+2（45+x）＝180，

x＝22.5°，

∴∠ABE＝45°，∠BAE＝∠BEA＝67.5°，

∴∠BEC＝180°﹣67.5°＝112.5°，

过C作CH⊥AB于H，交BE于M，则∠AHC＝90°，

∵AB∥CD，

∴∠BFC＝∠ABE＝45°，∠FCM+∠AHC＝180°，

∴∠FCM＝90°，

∴△FCM是等腰直角三角形，

∴FC＝CM，∠EMC＝45°，

Rt△BCH中，∠HBC＝67.5°，

∴∠BCH＝22.5°，

∴∠MBC＝∠BCH，

∴BM＝CM＝CF，

∵AB＝BE＝CD，

∴BE﹣BM＝CD﹣CF，EM＝DF，

∵∠DFG＝∠EMC＝45°，∠MEC＝∠FDG＝180°﹣67.5°＝112.5°，

∴△MEC≌△FDG（ASA），

∴EC＝DG．

25．（10分）一个个位不为零的四位自然数n，如果千位与十位上的数字之和等于百位与个

位上的数字之和，则称n为“隐等数”，将这个“隐等数“反序排列（即千位与个位对调，

−

百位与十位对调）得到一个新数m，记D（n）=．

332

（1）请任意写出一个“隐等数”n，并计算D（n）的值；

（2）若某个“隐等数“n的千位与十位上的数字之和为6，D（n）为正数，且D（n）能

表示为两个连续偶数的平方差，求满足条件的所有“隐等数”n．

【解答】解：（1）n＝1243，则m＝3421，

1243−3421

D（1243）==−2；

332

（2）设“隐等数“n的千位、百位分别为a、b，则十位数为（6﹣a），个位数为（6﹣b），

−1089(+−6)

D（n）===+−6，

3321089

∵D（n）为正数，且D（n）能表示两个连续偶数的平方差，

可设D（n）＝（2k+2）﹣（2k）（k为自然数），22

∴D（n）＝8k+4＝4（2k+1）＝a+b﹣6，a+b﹣6为4的奇数倍，

∵n的千位与十位上的数字之和为6，

∴1≤a≤6，1≤b≤5，

∴a+b﹣6＝4，

∴a+b＝10，

∴a＝5，b＝5或a＝6，b＝4，

∴n＝5511或6402．