九年级上册数学一元二次方程实际应用讲解.docVIP

九年级上册数学一元二次方程实际应用讲解

一、一元二次方程实际应用的重要性

一元二次方程在我们的日常生活和学习中有着非常重要的意义。它就像一把神奇的钥匙，可以帮助我们解决很多实际的问题。比如说，在建筑工程里，要计算一块矩形土地的面积，当知道了长和宽的关系以及总面积时，就可能会用到一元二次方程。又比如在商业活动中，计算利润问题，知道成本、售价和销售量之间的关系，也常常需要一元二次方程来帮忙。对于九年级的同学们来说，理解一元二次方程的实际应用，能让我们更好地将数学知识与实际生活联系起来，提高解决问题的能力。这不仅有助于我们在数学考试中取得好成绩，更能让我们学会用数学的思维去看待周围的世界。

二、一元二次方程实际应用的常见类型

1.面积问题

在面积问题里，经常会遇到一些几何图形的面积计算。例如，有一个长方形的花园，长比宽多2米，花园的面积是80平方米，让我们求长和宽。我们可以设宽为x米，那么长就是(x2)米。根据长方形面积公式，面积等于长乘以宽，就可以列出方程x(x2)=80，这就是一个一元二次方程。通过求解这个方程，我们就能得到花园的长和宽了。有一个圆形的池塘，周围要建一个环形的小路，已知小路的面积和池塘的半径等条件，也能列出一元二次方程来求解小路的宽度等问题。

2.利润问题

在商业经营方面，利润问题是很常见的一元二次方程应用类型。假如一家商店卖某种商品，每个商品的进价是20元，售价是x元时，每天能卖出(50x)个。那么总利润就等于单个商品的利润乘以销售量。单个商品的利润是(x20)元，销售量是(50x)个，所以总利润y=(x20)(50x)。将这个式子展开化简后，就得到了一个一元二次方程。通过分析这个方程，我们可以找到使利润最大的售价，这对商家制定价格策略是非常有用的。

3.增长率问题

增长率问题在很多领域都会出现。比如说，一个城市的人口每年以一定的百分比增长。假设初始人口是a，每年的增长率是x，经过n年后人口变为b。根据增长率的计算公式，就可以列出方程a(1x)?=b。这也是一元二次方程的一种形式。在企业的业务拓展中，销售额的增长或者产品产量的增长等类似情况，都可以用这样的方程来描述和分析。

三、如何建立一元二次方程解决实际问题

1.审题

这是非常关键的一步。要仔细阅读题目中的每一个信息，明确已知条件和所求的问题。比如在一个关于物体运动的问题中，要知道物体的初始速度、加速度、运动时间等已知信息，以及是求运动的距离还是最终速度等问题。把这些内容都梳理清楚，才能为后面建立方程做好准备。

2.设未知数

根据题目情况合理地设未知数。如果是求长方形的长和宽，我们可以设宽为x，然后用含x的式子表示长等其他量。设未知数要尽量简单明了，让后续的计算和方程建立更加方便。

3.找等量关系

这是建立一元二次方程的核心。在不同的实际问题中，等量关系是不一样的。在面积问题中，就是几何图形的面积公式；在利润问题中，就是总利润等于单个利润乘以销售量；在增长率问题中，就是增长后的量等于初始量乘以(1增长率)的n次方等。找到正确的等量关系后，就可以根据这个关系列出方程了。

4.解方程

列出一元二次方程后，就要进行求解。一元二次方程有多种求解方法，比如因式分解法、配方法和公式法。如果方程可以很容易地进行因式分解，就用因式分解法，例如x25x6=0，可以分解为(x2)(x3)=0，解得x=2或者x=3。如果方程不容易因式分解，就可以用配方法或者公式法。公式法对于任何一元二次方程ax2bxc=0(a≠0)，其解为x=[b±√(b24ac)]/2a。

四、一元二次方程实际应用的解题示例

1.面积问题示例

有一块正方形的土地，在它的一边增加3米，另一边减少3米后，得到一个长方形土地，长方形土地的面积比正方形土地的面积少9平方米。求正方形土地的边长。

设正方形土地的边长为x米。那么正方形土地的面积就是x2平方米。长方形土地的长是(x3)米，宽是(x3)米，其面积就是(x3)(x3)平方米。根据题目中的等量关系“正方形土地的面积长方形土地的面积=9”，可以列出方程x2(x3)(x3)=9。

展开方程左边得到x2(x29)=9，进一步化简为x2x29=9，这个方程恒成立，所以x可以取任意正数。但是从实际意义出发，边长不能为负数或者0，所以x只要是一个合理的正数就可以，比如x=5米（这里取一个合理的值为例）。

2.利润问题示例

某工厂生产一种产品，每件成本是40元，如果每件产品的售价为x元，每天的销售量是30010x件。要使每天的利润达到1500元，求售价x。

单个产品的利润是(x40)元，销售量是(30010x)件，根据利润=单个利润×销售量，可列出方程(x40)(30010x)=1500。

展开方程得到300x10x