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人教版八年级下学期数学练习题及答案

26．（7分）在平面直角坐标系xOy中，M为直线l：x＝a上一点，N是直线l外一点，且直

线MN与x轴不平行，若MN为某个矩形的对角线，且该矩形的边均与某条坐标轴垂直，

则称该矩形为直线l的“伴随矩形”．如图为直线l的“伴随矩形”的示意图．

（1）已知点A在直线l：x＝2上，点B的坐标为（3，﹣2）

①若点A的纵坐标为0，则以AB为对角线的直线l的“伴随矩形”的面积是；

②若以AB为对角线的直线l的“伴随矩形”是正方形，求直线AB的表达；

（2）点P在直线l：x＝m上，且点P的纵坐标为4，若在以点（2，1），（﹣2，1），（﹣

2，﹣1），（2，﹣1）为顶点的四边形上存在一点Q，使得以PQ为对角线的直线l的“伴

随矩形”为正方形，直接写出m的取值范围．

【分析】（1）①根据“伴随矩形”的定义画出图形即可解决问题；

②根据题意，当以AB为对角线的直线l的“伴随矩形”为正方形时，点A的坐标为（2，

﹣1）或（2，﹣3），利用待定系数法即可解决问题；

（2）如图3中，求出经过特殊位置时当P坐标即可解决问题：当Q1坐标为（﹣2，﹣1）

时，可得P（﹣7，4）；当Q坐标为（2，1）时，可得P（﹣14）；当Q坐标为（2，

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﹣1）时，可得P（7，4）；当Q坐标为（﹣2，1）时，可得P（1，4）；再结合图象即

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可解决问题；

【解答】解：（1）①如图1中，∵A（2，0），B（3，﹣2）．

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∴以AB为对角线的直线l的“伴随矩形”AMBN的面积＝1×2＝2．

②如图2中，

根据题意，当以AB为对角线的直线l的“伴随矩形”为正方形时，

点A的坐标为（2，﹣1）或（2，﹣3）．

可得，直线AB的表达式为：y＝﹣x+1或y＝x﹣5．

（2）如图3中，

当Q1坐标为（﹣2，﹣1）时，可得P（﹣7，4）；1

当Q2坐标为（2，1）时，可得P（﹣14）；2

当Q3坐标为（2，﹣1）时，可得P（7，4）；3

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当Q4坐标为（﹣2，1）时，可得P（1，4）；4

观察图象可知：在以点（2，1），（﹣2，1），（﹣2，﹣1），（2，﹣1）为顶点的四边形上

存在一点Q，使得以PQ为对角线的直线l的“伴随矩形”为正方形时，m的范围为﹣7

≤m≤﹣1或1≤m≤7．

【点评】本题考查一次函数综合题、矩形的性质、正方形的性质、“伴随矩形”的定义等

知识，解题的关键是理解题意，学会取特殊点解决问题，属于中考压轴题．

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