高等数学导数概念省公开课金奖全国赛课一等奖微课获奖课件.pptx

第3章导数与微分

§3.1 导数概念

§3.2 导数基本运算与导数公式

§3.3隐函数与参变量函数求导法则

§3.4微分及其运算

§3.5 高阶导数

目录

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§3.1导数概念

一、引入导数概念3个实例

.

1.切线问题

割线极限位置——切线位置

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如图,

假如割线MN绕点M旋转而趋向极限位置MT,直线MT就称为曲线C在点M处切线.

极限位置即

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2．速度问题

物理学中表示物体作匀速直线运动时，它在任何时刻

速度公式是

.

其中

为物体经过旅程，

为经过旅程

所用时间．

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设物体在真空中作自由落体运动，物体下落旅程

与下落时间

函数关系为

.

其中

为重力加速度．现在讨论怎样

时刻速度

.

表示物体下落过程中在

设物体从

点开始下落，经过时间

落到点

，这时物体下落旅程为

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取时间增量

，即下落时间由

变到

设这时物体下落到点

，在时间

时间内下落旅程为

物体在时间段

内下落旅程为

上式两端同除以

，得到物体在时间段

内平均下

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下落速度

设物体运动方程为

（旅程

是时间

函数），

当运动时间由

变到

时，

物体在

时间段内

经过旅程为

，

上式两端同

，得到物体在时间段

内平均速度

除以

当

时，

极限值就是物体在时刻

速度，

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3.产品总成本改变率

则总成本对应改变量为

总成本平均改变率为

若极限

存在，则称此极限是产量时产品

总成本改变率.

设某产品总成本C是产量q函数：

C=C(q)，若产量由变为

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二、导数定义

定义1设函数

在点

某一邻域内有定义，

当自变量

在

处取得增量

（点

+

仍在该

邻域内），

对应地函数取得增量

.

假如

与

之比当

时极限存在，

则称函数

在点

处可导，

并称这个极限值

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为函数

在点

处导数，记为

即

也可记为

,

,或

.

上式可改写为

或

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例1求函数

在

处导数

.

解当

由1变到

时，函数对应增量为

所以

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例2

解

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定理1假如函数在一点可导，则函数一定在该点连续.

证

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连续函数不存在导数举例

比如,

注意:定理1逆定理不成立.

★

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比如,

15/29

比如,

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17/29

2.右导数:

三、左导数和右导数

1.左导数:

定理2

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例3

解

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注意:

四、函数导数

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由定义求导数

步骤:

例4

解

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例5

解

更普通地

比如,

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例6

解

23/29

例7

解

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例8

解

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四、几何意义

切线方程为

法线方程为

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例8

解

由导数几何意义,得切线斜率为

所求切线方程为

法线方程为

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五、小结

1.导数实质:增量比极限;

6.导数几何意义:切线斜率;

3.函数可导一定连续，但连续不一定可导;

4.求导数最基本方法:由定义求导数.

5.判断可导性

不连续,一定不可导.

连续

直接用定义;

看左右导数是否存在且相等.

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