高考数学立体几何中的截面问题（七大题型）（解析版）.docxVIP

特训10立体几何中的截面问题（七大题型）

用一个平面去截几何体，此平面与几何体的交集，叫做这个几何体的截面.此平面与几何体表面的交集(交线)叫做截线.

1.作截线与截点的主要根据：

(1)确定平面的条件.

(2)如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们相交于过此点的一条直线.

(3)如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内.

(4)线面平行的性质定理。

(5)如果两个平面平行，第三个平面和它们相交，那么两条交线平行.

2.立体几何图形中有关截面的做法：

①若已知两点在同一平面内，只要连接这两点，就可以得到截面与多面体的一个面的截线。

②若面上只有一个已知点，应设法在同一平面上再找出第二个确定的点;

③若两个已知点分别在相邻的面上，应找出这两个相邻平面的交线与截面的交点。

④面面平行的性质定理。

⑤若有一点在面上而不在棱上，则可通过作辅助平而找出棱上的交点;

若已知点在体内，则可通过辅助平面找出面上的交点，再找出棱上的交点.

目录：

01：三棱柱

02：四棱锥

03：棱台

04：侧棱垂直于底面

05：正方体、长方体

06：其他多面体

07：三棱锥

08：折叠问题

01：棱柱（含正方体）

1．（2023·辽宁抚顺·模拟预测）在直四棱柱中，底面ABCD为平行四边形，，，，，过点B作平面截四棱柱所得截面为正方形，该平面交棱于点M，则（????）

A．2 B．3 C．4 D．5

【答案】B

【分析】先结合截面为正方形，借助中位线转化得到的关系，再利用余弦定理分别求解底面对角线，然后由垂直关系及截面正方形，借助长度相等，利用勾股定理建立的方程组，求解转化即得所求比值.

【解析】

如图，设截面分别交，于点P，Q，

连接PQ，BM，设交点，连接，设交点，

由已知截面为正方形，则是，的中点，

底面ABCD为平行四边形，则是，的中点，

又，，则，

则是的中位线，也是四边形的中位线.

设，，

故，

由，得，

化简得（*），且，

由直四棱柱知，平面，

又平面，则

则四边形为直角梯形.

由，得，

在中，由余弦定理得，

解得，同理可得，

如图，在直角梯形中，在CQ上取点S，使，

则.

由，得，

即，化简得，

与（*）联立，解得，，

所以，则，

验证知，此时四边形为为正方形，满足题意.

则．

故选：B．

2．（2023·江西赣州·模拟预测）在直四棱柱中，底面ABCD是边长为2的正方形，侧棱，E是BC的中点，F是棱上的点，且，过作平面，使得平面平面AEF，则平面截直四棱柱，所得截面图形的面积为（????）

A． B． C．3 D．

【答案】A

【分析】根据四棱柱的几何性质以及面面平行的判定定理求解.

【解析】??

如图，取的中点M，在上取一点H，使得，连接，如上图，

则，平面，

平面AEF，平面平面；

即过点平行于平面AEF的平面截四棱柱的图形是三角形，

其中，

，

故选：A.

3．（2024·安徽安庆·三模）在正方体中，点分别为棱的中点，过点三点作该正方体的截面，则（????）

A．该截面多边形是四边形

B．该截面多边形与棱的交点是棱的一个三等分点

C．平面

D．平面平面

【答案】B

【分析】将线段向两边延长，分别与棱的延长线，棱的延长线交于，连分别与棱交于，可判断A；利用相似比可得，可判断B；证明平面即可判断C；通过证明平面，可判断D.

【解析】对于A，将线段向两边延长，分别与棱的延长线，棱的延长线交于，

连分别与棱交于，得到截面多边形是五边形，A错误；

对于B，易知和全等且都是等腰直角三角形，所以，

所以，即，点是棱的一个三等分点，B正确；

对于C，因为平面，平面，所以，

又，平面，所以平面，

因为平面，所以，同理可证，

因为平面，所以平面，

因为平面与平面相交，所以与平面不垂直，C错误；

对于D，易知，所以，

又，所以平面，

结合C结论，所以平面与平面不平行，D错误.

故选：B．

02：棱锥

4．（2024·重庆渝中·模拟预测）在三棱锥中，，且平面，过点作截面分别交于点，且二面角的平面角为，则所得截面的面积最小值为（????）

A． B． C． D．1

【答案】B

【分析】由二面角的定义可得，从而，设，由三角形的面积相等和基本不等式得到，再由三角形的面积公式即可求解.

【解析】过作，垂足为，连接，则由三垂线定理可得，

∴即为二面角的平面角，

∴，，所以，

设，则，

在三角形中，，

又，所以，

所以，时等号成立，

所以三角形的面积为，

故截面PEF面积的最小值为.

故选：B.

5．（2024·广西·模拟预测）在三棱锥中，平面，，，，点为棱上一点，过点作三棱锥的截面，使截面平行于直线和，当该截面面积取得最大值时，（????）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】通过作平行线作出题中的截面，