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八年级下学期数学练习题及答案

23．（10分）（1）如图1，平行四边形ABCD中，AM⊥BC于M，DN⊥BC于N．求证：BM

＝CN．

（2）如图2，平行四边形ABCD中，AC、BD是两条对角线，求证：AC2+BD2＝

AB+BC+CD+DA2222．

（3）如图，PT是△PQR的中线，已知：PQ＝7，QR＝6，RP＝5．求：PT的长度．

【分析】（1）由AAS证明△ABM≌△DCN，即可得出结论；

（2）作AM⊥BC于M，DN⊥BC于N，在Rt△DBN和Rt△DCN中，由勾股定理得BD2

2222+2BC•CN，同理：AC22222

﹣CD＝BN﹣CN＝BC﹣AB＝CM﹣BM＝BC﹣2BC•BM，由

BM＝CN，AD＝BC，即可得出结论；

（3）延长PT至S，使PT＝TS，连接QS，RS，由PT是△PQR的中线，证明四边形PQSR

222222

为平行四边形，得出PQ＝RS＝7，RP＝QS＝5，由（2）得：PS+RQ＝PQ+QS+SR+PR，

即可求出PT．

【解答】（1）证明：∵AM⊥BC于M，DN⊥BC于N，

∴∠AMB＝∠DNC＝90°，

∵在平行四边形ABCD中，AB＝DC，AB∥DC，

∴∠B＝∠DCN，

∵∠BMA＝∠CND＝90°，

在△ABM和△DCN中，，

∴△ABM≌△DCN（AAS），

∴BM＝CN；

（2）证明：作AM⊥BC于M，DN⊥BC于N，如图2所示：

22222+2BC•CN，

在Rt△DBN和Rt△DCN中，根据勾股定理得：BD﹣CD＝BN﹣CN＝BC

同理：AC﹣AB＝CM﹣BM＝BC﹣2BC•BM，22222

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∵BM＝CN，AD＝BC，

∴AC2+BD2＝AB2+BC+CD+DA222；

（3）解：延长PT至S，使得PT＝TS，连QS，RS，如图3所示：

∵PT是△PQR的中线，

∴QT＝RT，

∴四边形PQSR为平行四边形，

∴PQ＝RS＝7，RP＝QS＝5，

由（2）得：PS2+RQ2＝PQ2+QS+SR+PR222，

222222

+6+5+7+5

∴（2PT）＝7，

∴PT＝2．

【点评】本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理；熟练掌

握平行四边形的性质，证明三角形全等和运用勾股定理是解决问题的关键．

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