高等数学 教案【ch06】微分方程.docx

《高等数学》课程教案

课题：微分方程

教学目的：

1．了解微分方程的基本概念

2．掌握一阶微分方程、可降阶的微分方程、二阶线性微分方程的计算方法

课型：新授课

课时：

本章安排6个课时。

教学重点：

重点：一阶微分方程、可降阶的微分方程、二阶线性微分方程的计算方法

教学难点：

难点：一阶微分方程、可降阶的微分方程、二阶线性微分方程的计算方法

教学过程：

教学形式：讲授课，教学组织采用课堂整体讲授和分组演示。

教学媒体：采用启发式教学、案例教学等教学方法。教学手段采用多媒体课件、视频等媒体技术。

板书设计：

本课标题

微分方程

课次

3

授课方式

理论课□讨论课□习题课□其他□

课时安排

6

学分

共2分

授课对象

普通高等院校学生

任课教师

教材及参考资料

1.《高等数学》；电子工业出版社。

2.本教材配套视频教程及学习检查等资源。

3.与本课程相关的其他资源。

教学基本内容

教学方法及教学手段

课程引入

衔接导入

函数是客观事物的内部联系在数量方面的反映，利用函数关系可以对客观事物的变化规律进行研究，因此寻求变量之间的函数关系在实践中具有重要意义。在许多实际问题中，往往不能直接找出所需要的函数关系，但是根据问题所提供的条件，有时可以列出含有要找的函数及其导数的关系式，即所谓的微分方程。微分方程建立后，对它进行研究，找出未知函数，这就是解微分方程。本章主要介绍微分方程的一些基本概念和几种较简单的解法。

参考以下形式：

1.衔接导入

2.悬念导入

3.情景导入

4.激疑导入

5.演示导入

6.实例导入

7.其他形式

本章基本知识汇总

第一节微分方程的基本概念

例1已知直角坐标系中的一条曲线通过点(1,2)，且在该曲线上任一点P(x,y)处的切线斜率等于该点纵坐标的平方，求此曲线的方程。

解：设所求曲线的方程为y=y(x)，这是待求的未知函数。根据导数的几何意义及本题给出的条件，得

y

即?dxdy

积分得x=-

又已知曲线过点(1,2)，代入上式，得C=32，所以，所求曲线的方程为

例2设一物体从A点出发做直线运动，在任一时刻的速度为运动时间的两倍，求物体的运动方程。

解：首先建立坐标系。取A点为坐标原点，物体运动方向为坐标轴的正方向，并设物体在t时刻到达M点，其坐标为s(t)。显然，s(t)是时间t的函数，它表示物体的运动规律，是本题中待求的未知函数。s(t)的导数s(t)就是物体运动的速度

v(t)=2t, （6-1）

以及

?s(0)=0。 （6-2）

式（6-1）能帮助建立微分方程，式（6-2）是本题的初始条件，因为v(t)=s(t)，因此求物体的运动方程已

s

积分后得通解s(t)=t2+C，再将式（6-2）代入通解中，得C=0，故初值问题的解为s(t)=

上述两例的方程都含有未知函数的导数，一般地，含有未知函数的导数或微分的方程称为微分方程。若微分方程中的未知函数为一元函数，则称为常微分方程。由于我们仅研究常微分方程，因此将常微分方程简称为微分方程，有时简称为方程。

例如，下面方程都是微分方程（其中y、v、θ均为未知函数）：

（1）y=kx，

（2）(y-

（3）mv

（4）y″

（5）d2θdt2+gl

微分方程可以描述许多现象，如上面的方程（1）和方程（3）描述的是某种变速直线运动。

微分方程中所出现的未知函数导数的最高阶数称为该微分方程的阶数，如方程（1）～（3）为一阶微分方程，方程（4）和方程（5）为二阶微分方程。通常，n阶微分方程的一般形式为Fx,y,y,?,y(n)=0，式中

本章主要研究几种特殊类型的一阶微分方程和二阶微分方程。

将一个函数代入微分方程使其成为恒等式，此函数称为微分方程的解。不难验证，函数y=x2、y=x2+1及y=x

若微分方程解中所含独立的（不能合并的）任意常数的个数与方程的阶数相同，则称这样的解为该微分方程的通解。

若在微分方程通解中的任意常数中取定一组固定常数，则得到的解称为该微分方程的特解。例如，方程y=2x的解y=x2+C中含有一个任意常数且与该方程的阶数相同，因此，这个解是该微分方程的通解；若求满足条件y(0)=0的解，代入通解y=x2+C

yx=x0=

由此可以确定通解中的一个任意常数。

二阶微分方程的初始条件是

yx=x0=y0及

由此可以确定通解中的两个任意常数。

一个微分方程与其初始条件构成的问题称为初值问题。求解某初值问题，就是求微分方程的特解。

例3验证函数y=C1ex+C2

解：由y=C

y

y″

将y与y

C1

因