人大附中高三数学组开学考.docx

人大附中2025届高三数学寒假自主复习检测练习

2025年2月10日

高三数学组

说明：本卷共三道大题，21道小题，共6页，满分150分，考试时间120分钟。

一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案填涂在答题纸上的相应位置.）

1.已知复数，则（）

A.2 B. C.1 D.

2.下列说法错误的是（）

A. B. C. D.

3.已知的展开式中常数项为6，则（）

A.4 B.6 C.8 D.10

4.已知等差数列的前n项和为，若，则（）

A.30 B.55 C.80 D.110

5.已知定义在（0，+∞）上的函数满足：，当时，有，则称函数具有性质R.下列函数中具有性质R的是（）

A. B. C. D.

6.2025年这个寒假，深度求索的国产AI助手DeepSeek在全球掀起一场科技风暴.DeepSeek在训练模型时会用到对数似然函数来优化参数。假设某模型的对数似然函数为，其中w是模型参数，是输入特征，为了最大化，我们需要求解以下哪个方程（）

A. B. C. D.

7.已知向量，，若，则m=（）

A.2 B.1 C. D.

8.p：在a∈R且a≠0，对于任意的，使得；

：在R上单调递减，且恒成立；

：在R上单调递增，且存在使得；下列说法成立的是（）

A.只有q1是p的充分条件 B.只有是p的充分条件

C.、都是p的充分条件 D.、都不是p的充分条件

9.设函数在区间恰有三个最值点和两个零点.则的取值范围是

A. B. C. D.

10.若定义域均为D的函数，满足：，且，使得，则称与互为“m亲近函数”.已知与互为“π亲近函数”，则a的取值范围是（）

A. B.

C. D.

二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分.）

11.___________.

12.已知抛物线的焦点为F，点M，N在C上，若，则线段MN的中点的横坐标为___________.

13.在平面直角坐标系xOy中，角以Ox为始边，终边经过点，当时，则________；当t由0变化到时，线段OP扫过的图形面积是_________.

14.如图，F1，F2分别为双曲线的左，右焦点，A在左支上，B在右支上，且AF1∥BF2，，则该双曲线的渐近线方程为_________.

15.在数列中，，给出下列四个结论：

①若，则一定是递减数列

②若，则一定是递增数列；

③若，，则对任意c0，都存在，使得；

④若，，且对任意，都有，则k的最大值是.其中所有正确结论的序号是____________.

三、解答题（本大题共6小题，共85分，除了题目要求“写出”外，应有必要的解题步骤.）

16.（本小题13分）

已知扇形AOB中，半径OA=1，，C为弧AB上的动点，过C作扇形的内接矩形CDEF，使得矩形有一边平行于OA，设.

（1）当时，求矩形CDEF的周长.

（2）将矩形CDEF的面积表示为的函数，并求内接矩形的最大面积.

17.（本小题14分）

刍甍（chúméng）是中国古代数学书中提到的一种几何体.《九章算术》中有记载“下有袤有广，而上有袤无广”，可翻译为：“底面有长有宽为矩形，顶部只有长没有宽为一条棱.”如图，在刍甍ABCDEF中，四边形ABCD是正方形，平面BAE和平面CDE交于EF.

（1）求证：AB//EF；

（2）若AB=4，EF=2，ED=FC，，再从条件①，条件②中选择一个作为已知，使得符合条件的刍甍ABCDEF存在，并求平面ADE和平面BAF夹角的余弦值.

条件①：BF⊥FC，AF⊥FC；

条件②：平面CDE⊥平面ABCD；

18.（本小题13分）

已知脐橙分类标准：果径80mm～85mm为一级果，果径75mm～80mm为二级果，果径70mm～75mm或85mm以上为三级果.某农产品研究所从种植园采摘的大量该地脐橙中随机抽取1000个，测量这些脐橙的果径（单位：mm），得到如图所示的频率分布直方图.

在这1000个脐橙中，按分层抽样的方法在果径70～85mm中抽出9个脐橙，为进一步测量其他指标，在抽取的9个脐橙中再抽出3个.

（1）求这9个脐橙中一级果，二级果，三级果的数量；

（2）求最后抽取的三个脐橙中抽到的一级果个数X的数学期望；

（3）以样本估计总体，用频率代替概率，某顾客从种植园的这批脐橙中随机购买100个，其中一级果的个数为Y，记一级果的个数为k的概率为，直接写出当k为何值时最大？

19.（本小题15分）

已知椭圆的左、右焦点分别为F1、F2，过坐标原点的直线y=kx交椭圆于A，B两点，点A（x0，y0）在第一象限.

（1）直接写出该椭圆的焦点坐标与离心率；

（2）求