高等数学 课件【ch04】不定积分.pptx

不定积分第四章高等数学高等职业教育数字课程改革创新系列教材

01不定积分的概念与性质

不定积分的概念与性质在微分学中，我们已经学过怎样求已知函数的导数和微分，但在许多实际问题中，经常需要解决与此相反的问题，即已知一个函数的导数或微分求原来的函数，亦即求一个未知函数。这种已知导数或微分求原来函数的运算称为不定积分。本章将介绍不定积分的概念及其计算方法。

一、原函数的概念函数f（x）若有一个原函数F（x），则它必有无穷多个原函数；任意两个原函数之间只相差一个常数。关于原函数，一个函数具备什么条件时它的原函数一定存在？对于这个问题的回答，有下面的定理。不定积分的概念与性质

不定积分的概念与性质定理1若函数f（x）在区间I内连续，则f（x）在区间I内存在原函数。简单地说就是连续函数一定有原函数。定理2若函数f（x）在区间I内有原函数F（x），则f（x）的所有原函数都可以表示为F（x）+C（C为任意常数）。

二、不定积分不定积分的概念与性质定义?2若F（x）是在f（x）区间I内的一个原函数，则f（x）的所有原函数F（x）+C（C为任意常数）称为f（x）在I内的不定积分，记作。即。

不定积分的概念与性质三、积分与导数（或微分）的互逆运算性质由不定积分的定义容易得到如下的积分与导数（或微分）的互逆运算性质。性质1说明不定积分的导数等于被积函数，或者说，先积分后微分则积分符号与导数符号相互抵消了；性质?2?说明对一个函数的导数（或微分）求不定积分，其结果与该函数相差一个常数。

四、基本积分公式根据原函数的定义，由导数和微分基本公式容易推导得到下面的基本积分公式：（k为常数）（）不定积分的概念与性质

四、基本积分公式根据原函数的定义，由导数和微分基本公式容易推导得到下面的基本积分公式：不定积分的概念与性质

四、基本积分公式根据原函数的定义，由导数和微分基本公式容易推导得到下面的基本积分公式：不定积分的概念与性质

四、基本积分公式根据原函数的定义，由导数和微分基本公式容易推导得到下面的基本积分公式：不定积分的概念与性质

五、不定积分的性质不定积分的概念与性质现在我们应用不定积分的基本运算法则和基本积分公式来计算不定积分，这种计算不定积分的方法称为直接积分法。被积函数中的非零常数因子可以提到积分号之前，即（常数k≠0）

02换元积分法

换元积分法可以利用基本积分公式和积分的性质来计算的不定积分非常有限，因此有必要进一步研究不定积分的求法。本节把求复合函数微分的方法反过来用于求不定积分，利用中间变量的代换得到复合函数，这种求积分的方法称为换元积分法。

换元积分法根据换元方式的不同，换元积分法通常分为以下两类。一、第一类换元积分法（凑微分法）根据不定积分的定义得。

二、第二类换元积分法（变量代换法）此方法通常称为第二类换元积分法，也称为变量代换法。上述公式称为第二类换元积分公式。换元积分法

换元积分法一般来说，在处理含有以下根式的被积函数的不定积分时，常用三角函数代换，如表4-1所示。

03分部积分法

分部积分法除换元积分法外，还有一个重要的方法，即分部积分法。分部积分法是利用两个函数乘积的求导法则来推得另一个积分的方法。

分部积分法注：（1）从上例可见，积分运算有时需要多次使用分部积分法，当出现“循环现象”时，还需要通过移项求解。（2）在积分过程中，有时需要同时使用换元积分法和分部积分法才能求出不定积分。例子如下。

例33求不定积分分部积分法

分部积分法例34求不定积分

分部积分法例35求不定积分

例36求不定积分分部积分法

分部积分法例37求不定积分

04简单有理函数的不定积分

简单有理函数的不定积分有理函数