高等数学 课件【ch07】空间解析几何与向量代数.pptx

空间解析几何与向量代数第七章高等数学高等职业教育数字课程改革创新系列教材

01空间直角坐标系

空间直角坐标系空间解析几何是用代数的方法研究空间图形的一门数学学科，它在其他学科特别是工程技术上的应用比较广泛。此外，我们在讨论多元函数微积分时，空间解析几何也能给多元函数提供直观的几何解释。

空间直角坐标系因此在学习多元函数微积分之前，先介绍空间解析几何的知识。本章首先引入在工程技术上有着广泛应用的空间直角坐标系及向量的概念。然后介绍向量的线性运算（将向量线性运算代数化），以及向量的乘法（向量的数量积与向量积）；接着以向量为工具介绍空间平面和直线；最后介绍空间曲面和空间曲线。

空间直角坐标系过空间一定点O作三条互相垂直的数轴，它们都以O为原点，具有相同的单位长度。这三条数轴分别称为x轴（横轴）、y轴（纵轴）、z轴（竖轴），统称为坐标轴。空间直角坐标系

空间直角坐标系各轴正向之间的顺序要求符合右手法则（见图7-1）。

空间直角坐标系即用右手握住z轴，让右手的四指从x轴的正向以π/2的角度转向y轴的正向，这时大拇指所指的方向就是z轴的正向。这样的三个坐标轴构成的坐标系称为右手空间直角坐标系。与之相对应的是左手空间直角坐标系。

空间直角坐标系这三个相互垂直的坐标面把空间分成八个部分，每一部分称为一个卦限（见图7-2）。

空间直角坐标系二、空间直角坐标系内点的坐标表示方法这样，空间的点M就与一有序实数组（x，y，z）建立了一一对应关系（见图7-3）。

空间直角坐标系三、空间内两点之间的距离公式这六个平面围成了一个以M1M2为对角线的长方体，如图7-4所示。

02向量及其坐标表示法

一、向量的概念向量及其坐标表示法客观世界有各种各样的量，一类如时间、质量、长度、距离等，它们只有大小没有方向。另一类如力、速度、位移、加速度等，它们不仅有大小而且有方向。对于后者需要引进向量的概念。

向量及其坐标表示法既有大小又有方向的量称为向量。向量通常用一条有方向的线段即有向线段来表示。有向线段的长度表示向量的大小，有向线段的方向表示向量的方向。

向量及其坐标表示法记法：以A为起点、B为终点的有向线段所表示的向量记作（见图7-5）。

在研究向量时，一般只考虑大小与方向，即这时向量只与大小、方向有关，而与起点位置无关，我们称这种向量为自由向量。在这种情况下，若两个向量的方向相同且长度相等，则称它们相同。本章讨论的向量都是自由向量。向量及其坐标表示法

向量及其坐标表示法二、向量的线性运算由于向量与我们以前在数学课程中所学的量完全不同，因此必须定义它的运算。向量的加法满足下列运算律：（1）交换律，；（2）结合律，。

向量及其坐标表示法向量的加减法：定义1，如图7-6所示。

向量及其坐标表示法向量的加法也可以按如下的平行四边形法则定义：如图7-7所示。

向量及其坐标表示法这个向量即为所求的和，如图7-8所示。

向量及其坐标表示法若把向量a与b移到同一起点O，则从a的终点A向的b终点B所引的向量便是b-a（见图7-9）。

三、向量的坐标表示向量的运算仅靠几何方法研究有些不便，为此需将向量的运算代数化。下面先介绍向量的坐标表示法。在空间直角坐标系中，将与x轴、y轴、z轴的正向同向的单位向量分别记为i、j、k，它们统称为基本单位向量。向量及其坐标表示法

向量及其坐标表示法任给一向量a，三个平面分别垂直于三条坐标轴，，如图7-10所示。

向量及其坐标表示法例2如图7-11所示。

向量及其坐标表示法四、向量的模、方向角、投影向量的模的坐标表示，如图7-12所示。

向量及其坐标表示法方向角与方向余弦，如图7-13所示。

03向量的数量积与向量积

向量的数量积与向量积一、两向量的数量积两向量的数量积的定义及其性质，如图7-14所示。

向量的数量积与向量积定义4，如图7-15所示。

两向量的数量积的坐标计算式向量的数量积与向量积

向量的数量积与向量积二、两向量的向量积两向量的向量积的定义及其性质，如图7-16所示。

向量的数量积与向量积由两个向量的向量积定义可知，a*b的模等于以a、b为邻边的平行四边形面积（见图7-17）。

两向量的向量积的坐标计算式向量的数量积与向量积

04平面及其方程

平面及其方程一、平面的点法式方程如果一非零向量垂直于一平面，这个向量就称为该平面的法线向量，简称为法向量。显然，平面的法向量垂直于平面内的任一向量并且任一平面都有无穷多法向量，从方向上分为两组。

平面及其方程（见图7-18）。现在来建立平面π的方程。

平面及其方程三、两平面的