高等数学 课件【ch10】无穷级数.pptx

无穷级数第十章高等数学高等职业教育数字课程改革创新系列教材

01常数项级数的概念与性质

常数项级数的概念与性质前几章的主要研究对象是初等函数。初等函数可以由基本初等函数经过有限次四则运算得到，因此它是由有限个函数相加而成的函数。

常数项级数的概念与性质在数学和其他学科中还会涉及无穷多个数或无穷多个函数相加的问题，因此，本章引入无穷级数的概念。无穷级数也是高等数学的重要组成部分，它在自然科学、工程技术和数学的许多分支中都有广泛的应用。

一、常数项级数的基本概念该级数称为等比级数或几何级数，其中q称为等比级数的公比。常数项级数的概念与性质由定义2可知，研究级数的敛散性问题实际上是研究它的部分和数列的敛散性问题。

常数项级数的概念与性质二、级数收敛的性质性质1（级数收敛的必要条件）若级数收敛，则必有。在级数前加上有限项、去掉有限项或改变有限项，均不会影响级数的敛散性（在收敛的情形下级数的和可能会发生改变）。

常数项级数的概念与性质收敛级数任意加括号后得到的新级数仍然收敛，且与原级数有相同的和。由性质5可知，发散级数去括号后必是发散级数，但应该注意，发散级数加括号后得到的新级数可能收敛。或者说，一个级数加括号后得到的新级数收敛，而原来的级数不一定收敛。

02常数项级数敛散性判别法

常数项级数敛散性判别法在上一节中介绍了级数收敛和发散的概念，虽然我们应用定义判别了几个级数的敛散性，但能用定义来判别敛散性的级数非常有限。因此，必须另行寻求级数的敛散性判别法。

一、正项级数及其敛散性判别法定义3若级数中的每项，则称级数为正项级数。正项级数收敛的充分必要条件是它的部分和数列有界。常数项级数敛散性判别法

常数项级数敛散性判别法分析例7和例8不难发现，若正项级数的通项an是分式，并且分子分母都是的多项式（常数是零次多项式）或无理式时。则只要分母的次数比分子的次数高一次以上（不包含一次）该正项级数即收敛，否则即发散。

常数项级数敛散性判别法比较判别法需要建立两个正项级数的一般项之间的不等式关系，这有一定难度。下面给出比较判别法的极限形式。应用比较判别法，需要与一个已知敛散性的级数进行比较，有一定难度；当正项级数的通项中含有an或n!等形式时，难度更大。

一般地，若通项中含有阶乘、指数函数、幂指函数等因式的正项级数，则在讨论其敛散性时优先考虑比值判别法。有时，需要综合运用比较判别法和比值判别法来判别级数的敛散性。常数项级数敛散性判别法

常数项级数敛散性判别法二、任意项级数及其敛散性判别法若一个级数的每项an既可以是正数也可以是负数或零，则称这个级数为任意项级数或一般项级数。在级数前加上有限项、去掉有限项或改变有限项，均不会影响级数的敛散性（在收敛的情形下级数的和可能会发生改变）。

03幂级数

一、幂级数及其收敛性设有函数序列，其中每个函数都在同一区间I上有定义，则表达式称为定义在区间上的函数项级数。现在考察形如。幂级数

二、幂级数的运算性质及和函数的求法幂级数在此处添加内容在此次添加内容在此处添加内容在此次添加内容

幂级数三、将初等函数展开为幂级数（1）泰勒（Taylor）级数。（2）麦克劳林（Maclaurin）级数。

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