函数与导数规范答题.pdf

2022年高考数学总复习：函数与导数规范答题

例1(12)已知函数f(x)＝lnx＋a(1－x)．

(1)讨论f(x)的单调性；

(2)当f(x)有最大值，且最大值大于2a－2时，求a的取值范围．

讨论f′x

[思路探究]求f′x――→fx单调性―→fx最大值―→解fx2a－2.

的符号max

规范解答·分步得构建答题模板

1

解：(1)f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝－a.

x

若a≤0，则f′(x)0，所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增．

11

若a0，则当x∈(0，)时，f′(x)0；当x∈(，＋∞)时，f′(x)0.

aa

第一步求导数：写

11

所以f(x)在(0，)上单调递增，在(，＋∞)上单调递减.5出函数的定义域，求函

aa

所当a≤0时，f(x)在(0，＋∞)上单调递增，数的导数．

11第二步定符号：通过讨

当a0时，f(x)在(0，)上单调递增，在(，＋∞)上单调递减.6

aa论确定f′(x)的符号．

(2)由(1)知，当a≤0时，f(x)在(0，＋∞)上无最大值；第三步写区间：利用

1

当a0时，f(x)在x＝处取得最大值，f′(x)的符号写出函数

a

的单调区间．

111

最大值为f()＝ln()＋a(1－)＝－lna＋a－1.

aaa第四步求最值：根据函

因此f(1)2a－2等价于lna＋a－10.9数单调性求出函数最值.

a

令g(a)＝lna＋a－1，则g(a)在(0，＋∞)上单调递增，g(1)＝0.

于是，当0a1时，g(a)0；当a1时，g(a)0.

因此，a的取值范围是(0,1).12

[评分细则](1)函数求导正确给1分；(2)分类讨论，每种情况给2分，结论1分；(3)求

出最大值给2分；(4)构造函数g(a)＝lna＋a－1给2分；(5)通过分类讨论得出a的范围，给

2分．

跟踪训练

G

enzongxunlian

2ax－a2＋1

(文)已知函数f(x)＝(x∈R)，其中a∈R.

x2＋1

(1)当a＝1时，求曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线