2025版高考数学大一轮复习第十一章数学建模与数学探究自主阅读第2节过程评价与案例赏析讲义理含解析新.docVIP

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第2节过程评价与案例赏析

一测量学校内、外建筑物的高度项目的过程性评价

[目的]给出过程性评价，体现如何让学生在沟通过程中呈现特性、学会沟通、归纳总结，发觉问题、积累阅历、提升素养.

[评价过程]在每一个学生都完成“测量报告”后，支配沟通讲评活动.支配讲评的报告应当有所侧重.例如，测量结果精确，测量过程清楚，测量方法有创意，误差处理得当，报告书写细致等；或误差明显而学生自己没有察觉，测量过程中构建的模型有待商榷等.事实表明，这种形式的沟通讲评，往往是数学建模过程中学生收获最大的环节.

附件：某个小组的探讨报告的展示片段摘录.

测量不行及“志向大厦”的方法

1.两次测角法

(1)测量并记录测量工具距离地面hm；

(2)用大量角器，将一边对准大厦的顶部，计算并记录仰角α；

(3)后退am，重复(2)中的操作，计算并记录仰角β；

(4)楼高x的计算公式为：

x＝eq\f(atanαtanβ,tanα－tanβ)＋h，

其中α，β，a，h如图所示.

两次测角法示意图

2.镜面反射法

(1)将镜子(平面镜)置于平地上，人后退至从镜中能够看到房顶的位置，测量人与镜子的距离；

(2)将镜子后移am，重复(1)中的操作；

(3)楼高x的计算公式为x＝eq\f(ah,a2－a1)，其中a1，a2是人与镜子的距离，a是两次观测时镜面之间的距离，h是人的“眼高”，如图所示.依据光的反射原理，利用相像三角形的性质联立方程组，可以得到这个公式.

镜面反射法示意图

实际测量数据和计算结果，测量误差简要分析.

(1)两次测角法

实际测量数据：

第一次

其次次

仰角

67°

52°

后退距离为25m，人的“眼高”为1.5m，计算可得志向大厦的高度约为71.5m，结果与期望值(70m～80m)相差不大.误差的缘由是铅笔在纸板上画出度数时不够精确.减小误差的方法是几个人分别测量高度及仰角，再求平均值，误差就能更小.

(2)镜面反射法

实际测量数据：

第一次

其次次

人与镜子的距离

3.84m

3.91m

镜子的相对距离10m，人的“眼高”为1.52m.计算可得志向大厦的高度约为217m，结果与期望值相差较大.

产生误差有以下几点缘由：

镜面放置不能保持水平；

两次放镜子的相对距离太短，简洁造成误差；

人眼看镜内物像时，两次不肯定都看准镜面上的同一个点；

人体不肯定在两次测量时保证高度不变.

综上所述，要做到没有误差很难，但可以通过某些方法使误差更小，我们准备用更多的测量方法找出志向的结果.

对上面的测量报告，老师和同学给出评价.例如，对测量方法，老师和同学评价均为“优”，因为对不行及的测量对象选取了两种可行的测量方法；对测量结果，老师评价为“良”，同学评价为“中”，因为两种方法得到的结果相差较大.

对测量结果的评价，老师和同学产生差异的缘由是，老师对测量过程的部分项目实施加分，包括对自制测量仰角的工具等因素作了误差分析；同学则进一步分析产生误差的主要缘由，包括：

(1)测量工具问题.两次测角法的同学，自制量角工具比较粗糙，角度的刻度误差较大；镜面反射法的同学，选用的镜子尺寸太大，造成镜间距测量有较大误差.

(2)间距差的问题.这是一个普遍的问题.间距差a值是测量者自己选定的，因为没有较长的卷尺测量距离，有的同学甚至选间距差a是1m.由于间距太小，两次测量的角度差或者人与镜的距离差太小，最终导致计算结果产生巨大误差.当学生意识到了这个问题后，他们利用运动场100m跑道的自然长度作为间距差a，使得测量精度得到较大提高.

(3)不少学生用自己的身高代替“眼高”，反映了学生没有很好地理解测量过程中的“眼高”应当是测量的高度，如照片所示.

在结题沟通过程中，老师通过测量的现场照片，引导学生发觉问题，让学生分析测量误差产生的缘由.学生们在活动中意识到，书本学问和实践实力的联系与转化是有效的学习方式.

测量现场的照片和视察说明：

照片

说明

左图：测量角的工具(量角器)太小，造成仰角的测量误差很大.

右上图：用腕尺法测量时，腕尺应与地面垂直，手臂水平，否则就没有相像的直角三角形.

右下图：用镜子反射法时，要保持镜面水平，否则入射三角形和反射三角形就不相像.

测量仰角的工具好：把一个量角器放在复印机上放大4倍复印.在中心处绑上一个铅垂，这样测量视线和铅垂线之间的夹角可以在图上干脆读出，这个角是待测仰角的余角.

测量工具好：用自行车来测距离，解决了皮尺长度不够的问题.

[分析]建模活动的评价要关注结果，更要关注过程.

对测量方法和结果的数学评价可以占总评价的60%，主要由老师作评价.评价依据是现场视察和学生上交的测量报告，关注的主要评价点有：

(1)测量模型是否有效；

(2)计算过程是否清楚精