平面向量基本定理及坐标表示（教师版）.docx

6.3平面向量基本定理及坐标表示

模块一：平面向量基本定理

一、知识点回顾

1．平面向量基本定理

如果是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数

，使.若不共线，我们把叫做表示这一平面内所有向量的一个基底.

注：①基底：同一平面内的不共线两个向量，可作为一组基底.

②可将任一向量a在给出基底的条件下进行分解——平面内的任一向量都可以用平面内任意不共线的两个向量线性表示.

2．用平面向量基本定理解决问题的一般思路

①选择一组基底；

②运用该基底将条件和结论表示成向量的形式；

③通过向量的运算来解决.

注：同一个向量在不同基底下的分解是不同的，但在每个基底下的分解都是唯一的.

题型归纳

【题型1基底的概念】

【例题1】设是不共线的两个非零向量，则下列四组向量不能作为基底的是（????）

A．和 B．与

C．与 D．与

【答案】C

【难度】0.85

【分析】根据平面向量共线定理，结合选项，进行逐一分析即可.

【详解】对A：不存在实数，使得，故和不共线，可作基底；

对B：不存在实数，使得，故与不共线，可作基底；

对C：对与，因为是不共线的两个非零向量，

且存在实数，使得，故与共线，不可作基底；

对D：不存在实数，使得，故与不共线，可作基底.

故选：C.

【变式11】（多选）设，是平面内两个不共线的向量，则以下，可作为该平面内一组基的是（????）

A．， B．，

C．， D．，

【答案】ACD

【难度】0.85

【分析】根据基底的知识对选项进行分析，从而确定正确答案.

【详解】由为不共线向量，可知与，与，与必不共线，故不共线，所以A，C，D符合；

对于B，，故共线，所以B不符合；

故选：ACD.

【变式12】（多选）若是平面内所有向量的一个基底，则下列四组向量中不能作为平面内所有向量的基底的是（????）

A． B．

C． D．

【答案】BCD

【难度】0.65

【分析】根据平面向量共线定理以及基底的概念逐一判断即可.

【详解】对于A，若存在实数，使得，则，无解，所以与不共线，

可以作为平面的基底，故A错误；

对于B，因为，则与是共线向量，不能作为平面向量的基底，故B正确；

对于C，因为，则与是共线向量，不能作为平面向量的基底，故C正确；

对于D，因为，则与是共线向量，不能作为平面向量的基底，故D正确.

故选：BCD.

【题型2用基底表示向量】

【例题2】如图，在中，为靠近点的三等分点，为的中点，设，以向量为基底，则向量（????）

A． B． C． D．

【答案】B

【难度】0.85

【分析】利用向量的加减法运算法则运算即可得出答案.

【详解】由图形可知：

.

故选：B.

【变式21】如图，在中，，点是的中点.设，则（????）

??

A． B．

C． D．

【答案】A

【难度】0.85

【分析】根据平面向量基本定理得到.

【详解】因为，所以，

故.

故选：A

【变式22】如图，在平行四边形中，为的中点，与交于点，则（????）

??

A． B．

C． D．

【答案】D

【难度】0.65

【分析】利用几何关系，确定，再利用向量的线性运算，即可求解.

【详解】因为，且，所以，

即.

故选：D

【题型3三点共线求参数问题】

【例题3.1】如图在△ABC，，P是BN上的一点，若，则实数m的值为（????）

A． B． C． D．

【答案】C

【难度】0.94

【分析】根据向量线性运算得到，再利用向量共线定理的推论得到方程，求出m的值.

【详解】因为，所以，故，

因为三点共线，故，解得：.

故选：C

【变式3.11】在中，，是线段上的一点，若，则实数的值为（????）

A． B． C． D．

【答案】A

【难度】0.94

【分析】本题考查三点共线定理，依题意可得，，根据平面向量三点共线定理计算可得.

【详解】由，

由已知，则，

根据平面向量三点共线定理得，解得.

故选：A

【变式3.12】如图，中，点M是BC的中点，点N满足，AM与CN交于点D，，则（????）

A． B． C． D．

【答案】C

【难度】0.65

【分析】利用平面向量基本定理，向量的线性运算可得，再利用三点共线列式计算作答.

【详解】在中，点M是BC的中点，，则，

又，于是得，因点C，D，N共线，则有，解得，

所以.

故选：C

【变式3.13】如图，在平行四边形中，点是的中点，点为线段上的一个三等分点，且，若，则（????）

A．1 B． C． D．

【答案】D

【难度】0.65

【分析】由题意可知，，根据平面向量基本定理，将用线性表示，根据两个向量相等即可求出的值，即可得出答案.

【详解】由题知点为线段上的一个三等分点，所以，

所以

，

因为不共线，所以，故.

故选：D.

*【例题3.2】如图，已知点G是