第09讲正弦定理（原卷版）.docx

第09讲正弦定理

目录

TOC\o13\h\z\u题型归纳 1

题型01正弦定理及辨析 3

题型02正弦定理解三角形 3

题型03正弦定理判定三角形解的个数 4

题型04正弦定理求外接圆半径 5

题型05正弦定理边角互化的应用 6

题型06三角形面积公式及其应用 6

题型07射影公式 7

分层练习 8

夯实基础 8

能力提升 12

知识点01正弦定理

定理

正弦定理

内容

eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)＝2R(其中R是△ABC外接圆的半径)

变形形式

a＝2RsinA，b＝2Rsin_B，

c＝2Rsin_C；

sinA＝eq\f(a,2R)；sinB＝eq\f(b,2R)；

sinC＝eq\f(c,2R)；

a∶b∶c＝sin_A∶sin_B∶sin_C；

asinB＝bsinA，bsinC

＝csinB，asinC＝csinA；

eq\f(a＋b＋c,sinA＋sinB＋sinC)＝2R

知识点02利用正弦定理解三角形

利用正弦定理可以解决的两类问题

(1)已知两角和任一边，求其他两边和一角．

(2)已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角，从而进一步求出其他的边和角．由于三角形的形状不能唯一确定，会出现两解、一解和无解三种情况．

知识点03三角形的面积公式及应用

三角形的面积是与解三角形息息相关的内容，经常出现在高考题中，难度不大．解题的前提条件是熟练掌握三角形面积公式，具体的题型及解题策略为：

(1)利用正弦定理、余弦定理解三角形，求出三角形的有关元素之后，直接求三角形的面积，或求出两边之积及夹角正弦，再求解．

(2)把面积作为已知条件之一，与正弦定理、余弦定理结合求出三角形的其他各量．面积公式中涉及面积、两边及两边夹角正弦四个量，结合已知条件列方程求解．

题型01正弦定理及辨析

【例1】（2223高一下·黑龙江鸡西·期中）使正弦定理的成立的三角形是（）三角形

A．锐角 B．直角 C．任意 D．钝角

【变式1】（2122高一下·山东临沂·期中）在中，，，分别为内角，，的对边，若，则（????）

A． B． C． D．

【变式2】（2223高一下·陕西商洛·期末）在钝角中，角A，B，C的对边分别a，b，c，已知，则A，B，C中，是钝角．

【变式3】（2324高一下·安徽合肥·期中）锐角的三内角的对边分别为在上的射影长等于的外接圆半径，则的值是.

题型02正弦定理解三角形

【例2】（2324高一下·新疆·期中）在中，已知，，，则（????）

A．60° B．120° C．60°或120° D．30°或90°

【变式1】（2324高一下·贵州·期中）在中，若，则是（????）

A． B．或 C．或 D．

【变式2】（2425高一上·全国·期中）在中，，延长到D，使得，则的长度为．

【变式3】（2324高一下·福建福州·期末）在四边形中，，，，.

(1)求和;

(2)求.

题型03正弦定理判定三角形解的个数

【例3】（2122高一下·江苏南京·期末）已知中，，，，则的解的个数为（????）

A．0 B．1

C．2 D．无法确定

【变式1】（2324高一下·广东广州·期末）的内角，，所对的边分别为，，，已知，，若三角形有唯一解，则整数构成的集合为（????）

A． B． C． D．

【变式2】（2324高一下·浙江·期中）在中，已知，，若有两解，则边的取值范围为.

【变式3】（2324高一下·河南郑州·期中）（1）在中，已知，，，求.

在中，已知，，，解这个三角形

题型04正弦定理求外接圆半径

【例4】（2324高一下·北京·期末）在中，，则的外接圆的半径为（????）

A．1 B．2 C．3 D．4

【变式1】（2324高一下·浙江温州·期中）若的外接圆的半径，，则（????）

A．1 B． C．2 D．

【变式2】（2324高一下·上海·期中）在△中，，则△的外接圆的半径为.

【变式3】（2223高一下·河北邯郸·期中）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，.

(1)求外接圆的周长；

(2)若，求的周长.

题型05正弦定理边角互化的应用

【例5】（2324高一下·广西玉林·期中）中，角所对的边分别为，若，则（???）

A． B． C． D．或

【变式1】（2324高一下·海南省直辖县级单位·期中）在中，角，，的对边分别是，，，，则角（???）

A． B． C． D．

【变式2】（2324高一下·江苏无锡·期中）已知中，角A，B，C满足：，则