2025年高考数学二轮复习思想01 实施分类讨论策略以精准解析数学问题（解析版）.docx

PAGE2/NUMPAGES35

思想01实施分类讨论策略以精准解析数学问题

目录TOC\o1-4\h\u

01考情透视·目标导航 2

02知识导图·思维引航 3

03知识梳理·方法技巧 4

04真题研析·精准预测 5

05核心精讲·题型突破 16

题型一：由情境的规则引起的分类讨论 16

题型二：由定义引起的分类讨论 21

题型三：由平面图形的可变性引起的分类讨论 28

题型四：由变量的范围引起的分类讨论 38

题型五：由空间图形的可变性引起的分类讨论 44

高考命题中，以知识为载体，以能力立意、思想方法为灵魂，以核心素养为统领，兼顾试题的基础性、综合性、应用性和创新性，展现数学的科学价值和人文价值．高考试题一是着眼于知识点新颖巧妙的组合，二是着眼于对数学思想方法、数学能力的考查．如果说数学知识是数学的内容，可用文字和符号来记录和描述，那么数学思想方法则是数学的意识，重在领会、运用，属于思维的范畴，用于对数学问题的认识、处理和解决．高考中常用到的数学思想主要有分类讨论思想、数形结合思想、函数与方程思想、转化与化归思想等．

当被研究的问题出现多种情况且综合考虑无法深入时，我们通常将可能出现的所有情况分别进行讨论，得出每种情况下相应的结论，这就是分类讨论的思想，包含分类与整合两部分，既化整为零，各个击破，又集零为整．

基本步骤是：（1）研究讨论的必要性，确定讨论对象；（2）确定分类依据，并按标准分类；（3）逐类解决，获得各类的结果；（4）归纳整合，得到结果．

分类的基本原则是：（1）标准统一，不重不漏；（2）层次明晰，不混不乱．

分类讨论应用的热点：（1）由概念、定义、公式、定理、性质等引起的分类讨论，如直线的斜率是否存在，幂、指数、对数函数的单调性，等比数列的公比是否为等．（2）由数学运算规则引起的分类讨论，如除法运算中分母不为零，偶次方根为非负数，不等式两边同乘（除）以一个数（式）的符号等．（3）由变量的范围引起的分类讨论，如对数的真数与底数的范围，指数运算中底数的范围，函数在不同区间上单调性受参变量的影响等．（4）由图形的可变性引起的分类讨论，如图形类型、位置，点所在的象限，角大小的可能性等．（5）由情境的规则引起的分类讨论，情境问题的规则在解决数学问题时常需要分类讨论思想，如体育比赛的规则等．

1．（2024年新课标全国Ⅱ卷数学真题）设函数，若，则的最小值为（????）

A． B． C． D．1

【答案】C

【解析】解法一：由题意可知：的定义域为，

令解得；令解得；

若，当时，可知，

此时，不合题意；

若，当时，可知，

此时，不合题意；

若，当时，可知，此时；

当时，可知，此时；

可知若，符合题意；

若，当时，可知，

此时，不合题意；

综上所述：，即，

则，当且仅当时，等号成立，

所以的最小值为；

解法二：由题意可知：的定义域为，

令解得；令解得；

则当时，，故，所以；

时，，故，所以；

故，则，

当且仅当时，等号成立，

所以的最小值为.

故选：C.

2．（2024年天津高考数学真题）设，函数.若恰有一个零点，则的取值范围为．

【答案】

【解析】令，即，

由题可得，

当时，，有，则，不符合要求，舍去；

当时，则，

即函数与函数有唯一交点，

由，可得或，

当时，则，则，

即，整理得，

当时，即，即，

当，或（正值舍去），

当时，或，有两解，舍去，

即当时，在时有唯一解，

则当时，在时需无解，

当，且时，

由函数关于对称，令，可得或，

且函数在上单调递减，在上单调递增，

令，即，

故时，图象为双曲线右支的轴上方部分向右平移所得，

由的渐近线方程为，

即部分的渐近线方程为，其斜率为，

又，即在时的斜率，

令，可得或（舍去），

且函数在上单调递增，

故有，解得，故符合要求；

当时，则，

即函数与函数有唯一交点，

由，可得或，

当时，则，则，

即，整理得，

当时，即，即，

当，（负值舍去）或，

当时，或，有两解，舍去，

即当时，在时有唯一解，

则当时，在时需无解，

当，且时，

由函数关于对称，令，可得或，

且函数在上单调递减，在上单调递增，

同理可得：时，图象为双曲线左支的轴上方部分向左平移所得，

部分的渐近线方程为，其斜率为，

又，即在时的斜率，

令，可得或（舍去），

且函数在上单调递减，

故有，解得，故符合要求；

综上所述，.

故答案为：.

3．（2024年北京高考数学真题）设与是两个不同的无穷数列，且都不是常数列.记集合，给出下列4个结论：

①若与均为等差数列，则M中最多有1个元素；

②若与均为等比数列，则M中最多有2个元素；

③若为等差数列，为等比数列，则M中最多有3个元素；

④若为递增数列，为递减数列，则M中最