向量的数量积解析.docx

6.2.4向量的数量积

【题型归纳】

TOC\o12\h\u题型1平面向量数量积的运算 5

考点1平面向量数量积的简单计算 5

考点2平面几何图形中的向量数量积的计算 7

题型2向量的投影 10

题型3利用平面向量数量积求向量的模 13

题型4利用平面向量数量积求向量的夹角 14

题型5向量的垂直问题 16

题型6利用平面向量数量积判断三角形的形状 18

题型7利用平面向量数量积求最值 23

考点1求向量数量积的最值问题 23

考点2求向量模有关的最值问题 27

考点3求向量夹角有关的最值问题 29

巩固提升训练 32

知识点一向量的数量积

1．向量数量积的物理背景

如图，一个物体在力的作用下产生位移，且力与位移的夹角为，那么力所做的功.

其中是在物体位移方向上的分量的数量，也就是力在物体位移方向上正投影的数量.

我们知道力和位移都是矢量，而功是一个标量(数量).这说明两个矢量也可以进行运算，并且这个运算明显不同于向量的数乘运算，因为数乘运算的结果是一个向量，而这个运算的结果是数量.

2．向量的夹角

已知两个非零向量，，如图所示，是平面上的任意一点，作，，则叫做向量与的夹角，也常用表示.向量夹角的取值范围为.

向量夹角的特殊情形，如图(1)(2)(3)所示，

当时，向量，共线且同向；

当时，向量，相互垂直，记作；

当时，向量，共线且反向.

3．两个向量数量积的定义

已知两个非零向量与，它们的夹角为，我们把数量叫做向量与的数量积(或内积)，记作，即.

规定：零向量与任一向量的数量积为0，即.

注：(1)在书写数量积时，与之间用实心圆点“”连接，而不能用“”连接，更不能不写.

(2)向量线性运算的结果是一个向量，而两个向量的数量积是一个数量，这个数量的大小与两个向量的长度及其夹角有关，符号由夹角的余弦值的符号决定.

(3)设两个非零向量与的夹角为，则

当时，，;

当为锐角时，，且;

当为直角时，，;

当为钝角时，，且;

当时，，.

(4)在运用数量积公式时，一定要注意向量夹角的范围是

4．向量的投影

如图(1)，设，是两个非零向量，，，我们考虑如下的变换：过的起点和终点，分别作所在直线的垂线，垂足分别为，，得到，我们称上述变换为向量向向量投影，叫做向量在向量上的投影向量.

如图(2)，我们可以在平面内任取一点，作，.过点作直线的垂线，垂足为，则就是向量在向量上的投影向量.显然，在上的投影向量(与向量共线)与在上的投影向量(与向量共线)是不同的.

5．向量数量积的几何意义

如图，称为向量在向量上的投影的数量，可以表示为

向量的数量积的几何意义：

的长度与在上的投影的数量的乘积(如图)；或的长度与在上的投影的数量的乘积.

注：(1)在上的投影向量可能与同向，可能反向，也可能为，它的方向取决于角的范围.

具体情况，我们可以借助下面的图形进行分析：

的范围

图形

在上的投影向量

与同向

与同向

与反向

与反向

(2)由，得当为锐角时，，且；

当为钝角时，，且；

当时，;

当时；

当时，.

知识点二向量数量积的性质和运算律

1．向量数量积的性质

设，是非零向量，它们的夹角是，是与方向相同的单位向量，则

(1).

(2).

(3)当与同向时，;当与反向时，.

特别地，或

(4)，当且仅当向量，共线，即时，等号成立.

(5)

2．向量数量积的运算律

由向量数量积的定义，可以发现下列运算律成立：对于向量，，和实数，有

(1)交换律:；

(2)数乘结合律:；

(3)分配律:.

知识点三向量数量积的常用结论

(1)；

(2)；

(3)；

(4)；

(5)，当且仅当与同向共线时右边等号成立，与反向共线时左边等号成立.

以上结论可作为公式使用.

【题型归纳】

题型1平面向量数量积的运算

考点1平面向量数量积的简单计算

1．（2425高一下·全国·课堂例题）已知等边的边长为1，求：

(1)；

(2)；

(3).

【答案】(1)

(2)

(3)

【分析】根据数量积的公式计算即可，要注意其夹角.

【详解】（1）与的夹角为，

.

（2）与的夹角为，

.

（3）与的夹角为，

.

2．（2425高一上·上海·课后作业）已知，，按下列条件分别求：

(1)向量、的夹角为；

(2)；

(3).

【答案】(1)

(2)

(3)

【分析】（1）根据向量数量积的公式直接可得解；

（2）根据向量可知两向量夹角，进而可得解；

（3）根据垂直，直接可得数量积.

【详解】（1）由，，且向量、的夹角为，

则；

（2）由，可知向量、的夹角为或，

则，

所以；

（3）由，

则.

3．（2324高一下·全国·课后作业）已知，，与的夹角为，