2025年高考数学二轮复习思想01 实施分类讨论策略以精准解析数学问题（原卷版）.docx

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思想01实施分类讨论策略以精准解析数学问题

目录TOC\o1-4\h\u

01考情透视·目标导航 2

02知识导图·思维引航 3

03知识梳理·方法技巧 4

04真题研析·精准预测 5

05核心精讲·题型突破 7

题型一：由情境的规则引起的分类讨论 7

题型二：由定义引起的分类讨论 8

题型三：由平面图形的可变性引起的分类讨论 10

题型四：由变量的范围引起的分类讨论 12

题型五：由空间图形的可变性引起的分类讨论 13

高考命题中，以知识为载体，以能力立意、思想方法为灵魂，以核心素养为统领，兼顾试题的基础性、综合性、应用性和创新性，展现数学的科学价值和人文价值．高考试题一是着眼于知识点新颖巧妙的组合，二是着眼于对数学思想方法、数学能力的考查．如果说数学知识是数学的内容，可用文字和符号来记录和描述，那么数学思想方法则是数学的意识，重在领会、运用，属于思维的范畴，用于对数学问题的认识、处理和解决．高考中常用到的数学思想主要有分类讨论思想、数形结合思想、函数与方程思想、转化与化归思想等．

当被研究的问题出现多种情况且综合考虑无法深入时，我们通常将可能出现的所有情况分别进行讨论，得出每种情况下相应的结论，这就是分类讨论的思想，包含分类与整合两部分，既化整为零，各个击破，又集零为整．

基本步骤是：（1）研究讨论的必要性，确定讨论对象；（2）确定分类依据，并按标准分类；（3）逐类解决，获得各类的结果；（4）归纳整合，得到结果．

分类的基本原则是：（1）标准统一，不重不漏；（2）层次明晰，不混不乱．

分类讨论应用的热点：（1）由概念、定义、公式、定理、性质等引起的分类讨论，如直线的斜率是否存在，幂、指数、对数函数的单调性，等比数列的公比是否为等．（2）由数学运算规则引起的分类讨论，如除法运算中分母不为零，偶次方根为非负数，不等式两边同乘（除）以一个数（式）的符号等．（3）由变量的范围引起的分类讨论，如对数的真数与底数的范围，指数运算中底数的范围，函数在不同区间上单调性受参变量的影响等．（4）由图形的可变性引起的分类讨论，如图形类型、位置，点所在的象限，角大小的可能性等．（5）由情境的规则引起的分类讨论，情境问题的规则在解决数学问题时常需要分类讨论思想，如体育比赛的规则等．

1．（2024年新课标全国Ⅱ卷数学真题）设函数，若，则的最小值为（????）

A． B． C． D．1

2．（2024年天津高考数学真题）设，函数.若恰有一个零点，则的取值范围为．

3．（2024年北京高考数学真题）设与是两个不同的无穷数列，且都不是常数列.记集合，给出下列4个结论：

①若与均为等差数列，则M中最多有1个元素；

②若与均为等比数列，则M中最多有2个元素；

③若为等差数列，为等比数列，则M中最多有3个元素；

④若为递增数列，为递减数列，则M中最多有1个元素.

其中正确结论的序号是.

4．（2023年北京高考数学真题）设，函数，给出下列四个结论：

①在区间上单调递减；

②当时，存在最大值；

③设，则；

④设．若存在最小值，则a的取值范围是．

其中所有正确结论的序号是．

5．（2024年高考全国甲卷数学（理）真题）已知函数．

(1)当时，求的极值；

(2)当时，，求的取值范围．

6．（2024年天津高考数学真题）已知为公比大于0的等比数列，其前项和为，且．

(1)求的通项公式及；

(2)设数列满足，其中．

（ⅰ）求证：当时，求证：；

（ⅱ）求．

题型一：由情境的规则引起的分类讨论

【典例1-1】甲?乙两人各有三张卡片，每张卡片上标有一个数字，甲的卡片上分别标有数字，乙的卡片上分别标有数字，两人各自从自己持有的卡片中随机任选两张，并比较所选卡片上数字之和的大小，数字之和大的人获胜.则甲获胜的概率为.

【典例1-2】已知实数的平均数为4，则这四个数的中位数的取值范围是．

【变式1-1】某学校组织数学竞赛活动，准备了两组题目分别放在A，B两个箱子中．A箱中有4道代数题和2道几何题，B箱中有3道代数题和3道几何题．参赛选手先在两个箱子中任选一个箱子，然后从选中的箱子中依次抽取2道题（不放回）作答．

(1)若甲同学选择A箱，求甲第一次抽到代数题且第二次抽到几何题的概率；

(2)若乙同学选择A箱，答题结束后工作人员失误将乙抽取的题目放回了B箱，接着丙同学选择从B箱抽取题目，求丙抽取的2道题中至少有一道代数题的概率．

【变式1-2】将连续正整数1，2，，从小到大排列构成一个数，为这个数的位数如当时，此数为123456789101112，共有15个数字，，现从这个数中