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6.11平面向量的线性运算

一、知识点回顾

1．向量的加法运算

(1)向量加法的定义及两个重要法则

定义

求两个向量和的运算，叫做向量的加法.

三角形法则

前提

已知首尾相连

作法

作，连接AC.

结论

向量叫做与的和，记作，即.

图形

平行四边形

法则

前提

已知向量同起点

作法

作，以OA,OB为邻边作平行四边形OACB.

结论

以O为起点的向量就是向量与的和，即.

图形

规定

对于零向量与任一向量，我们规定.

注：为了得到有限个向量的和，只需将这些向量依次首尾相接，那么以第一个向量的起点为起点，最后一个向量的终点为终点的向量，就是这些向量的和。

即：AB

2．向量加法的运算律

(1)交换律：；

(2)结合律：.

3．向量的减法运算

(1)相反向量

我们规定，与向量长度相等，方向相反的向量，叫做的相反向量，记作.零向量的相反向量仍是

零向量.

(2)向量减法的定义：

向量加上的相反向量，叫做与的差，即.求两个向量差的运算叫做向量的减

法.

(3)向量减法的三角形法则（同起点）

如图，已知向量，在平面内任取一点O，作，，则.

即两个同起点向量的减法，结果为减向量的终点指向被减向量的终点。

可以表示为从向量的终点指向向量的终点的向量，这是向量减法的几何意义.

4．向量的数乘运算

(1)向量的数乘的定义

一般地，我们规定实数与向量的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作，它的长度与

方向规定如下：

①模长：；

②方向：当时，的方向与的方向相同；

当时，的方向与的方向相反.

当λ=0，为零向量

(2)向量的数乘的运算律

设为实数，那么①；②；③.

特别地，我们有，.

(3)向量的线性运算

向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算.对于任意向量，以及任意实数，恒有.

5．向量共线定理

向量与共线的充要条件是：存在唯一一个实数，使.

三点共线定理

，，三点共线

（为平面内异于，，的任一点，）

（为平面内异于，，的任一点，，，）．

注：

①向量加法、减法、数乘运算统称线性运算，结果依然为向量。

②向量的中线公式

若为线段的中点，为平面内一点，则

③三角形重心的向量公式

为的重心．

题型归纳

【题型1向量的加法、减法运算】

【例题1】向量，化简后等于（????）

A． B． C． D．

【答案】D

【难度】0.85

【分析】利用平面向量的加法与减法可化简所得向量式.

【详解】.

故选：D.

【变式11】向量化简后等于（????）

A． B． C． D．

【答案】C

【难度】0.94

【分析】由向量加法运算法则直接计算可得结果.

【详解】

故选：C.

【变式12】向量﹒化简后等于（）

A． B．0 C． D．

【答案】D

【难度】0.65

【分析】根据向量的线性运算，化简即可求解.

【详解】

,故选D.

【点睛】本题主要考查了向量的加法运算，注意首尾相接的向量相加等于第一个向量的始点指向最后一个向量的终点，属于中档题.

【变式13】下列各式化简结果正确的是（???）

A． B．

C． D．

【答案】D

【难度】0.85

【分析】根据向量的加减法运算法则求解.

【详解】对于A，因为，A错误，

对于B，因为，所以，B错误；

对于C，，C错误；

对于D，，D正确；

故选：D.

【变式14】向量化简后等于

【答案】

【难度】0.94

【分析】直接根据向量的加法法则写出结果即可.

【详解】由向量加法的运算法则，可得

.

故答案为：

【变式15】（多选）下列各式中，化简结果为的是（????）

A．

B．

C．

D．

【答案】ABC

【难度】0.85

【分析】根据向量加减法的法则，分别判断每个选项，得到正确答案.

【详解】A.，故A正确；

B.，故B正确；

C.

，故C正确；

D.，故D不正确.

故选：ABC

【点睛】本题考查向量加法和减法，属于简单题型.

【变式16】（1）

（2）

【答案】（1）；（2）.

【难度】0.85

【分析】（1）（2）利用向量线性运算计算即得.

【详解】（1）.

（2）

.

【变式17】化简：

(1)；

(2)；

(3)

【答案】(1)；

(2)；

(3).

【难度】0.65

【分析】（1）（2）（3）直接由向量的线性运算即可得到结果.

【详解】（1）；

（2）；

（3）.

【题型2平面向量的混合运算】

【例题2】设，为所在平面内的两点，，则（????）

A． B．

C． D．

【答案】C

【难度】0.94

【分析】利用向量的线性运算可得的表示形式.

【详解】，

化简可得.

故选：C.

【点睛】本题考查向量的线性运算，注意根据题设条件选择合理的基底来表示其余向量，本题属于基础题.

【变式21】设分别是所在边上的两点，且满