两角和与差的正切公式讲义-高一上学期数学人教A版.docx

两角和与差的正切公式

在三角函数的奇妙世界里，两角和与差的正切公式是极为重要的工具，它为我们解决众多涉及三角函数运算与化简的问题提供了便捷途径。

一、两角和的正切公式推导

我们从大家熟悉的两角和的正弦与余弦公式出发来推导两角和的正切公式。已知，。

因为，那么，将与的展开式代入可得：

分子分母同时除以（这里要求且），得到：

这就是两角和的正切公式。

二、两角差的正切公式推导

有了两角和的正切公式，推导两角差的正切公式就相对容易了。我们把代换成，根据诱导公式。

那么，将其代入两角和的正切公式：

这样我们就得到了两角差的正切公式。

三、公式应用举例

（一）求具体角度的正切值

例1：求tan75°的值。

分析：我们知道75°=45°+30°，可以利用两角和的正切公式来计算。

解：tan75°=tan(45°+30°)，因为tan45°=1，tan30°=。

根据两角和的正切公式，则。

对式子进行化简，分子分母同时乘以3得到，再分子分母同时乘以进行分母有理化，即。

（二）化简三角函数式

例2：化简。

分析：观察式子的形式，它与两角和的正切公式一致，这里α=15°，β

解：由两角和的正切公式可知。

（三）解决三角函数的综合问题

例3：已知tanα=2，tanβ=3，且

分析：先根据两角和的正切公式求出tan(α+β)的值，再结合

解：根据两角和的正切公式，把tanα=2，tan

。

因为α，β均为锐角，所以0°α+β

两角和与差的正切公式在三角函数的学习中占据着举足轻重的地位，通过对公式的推导理解以及大量实例应用，我们能够更加熟练地运用它解决各种复杂的数学问题，进一步领略三角函数的魅力与奥秘。