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《变量与函数》教案

教学目标及教学重点、难点

教学目标：

1.结合实例，理解变量与常量的概念，理解函数的概念.

2.能在具体情境中找出变量，并会判断两个变量间是否存在函数关系.

3.探索实际问题中的变化规律，经历“找出变量，建立函数模型表示变量之间的单值对应关系，解决实际问题”的过程，体会函数是刻画现实世界中变化规律的重要数学模型.

4.在利用函数刻画实际问题中变化规律的过程中，渗透运动变化与联系对应的思想，体会数学建模的思想，领略数学知识背后的人文素养.

教学重点：函数的概念.

教学难点：理解函数概念的本质.

教学过程(表格描述)

教学环节

主要教学活动

设置意图

引入

同学们好，我是北京师范大学亚太实验学校的白月欣老师.

在语文课本中，我们读过刻舟求剑的故事，这个故事启发我们要从运动变化的角度看待世界.那么用数学的视角怎么解读这个故事呢？带着这个问题，我将和同学们一起开启变量数学的第一课：变量与函数.

通过寓言故事引入新课，换个视角研究问题

知识概要

产生变量数学的原因是我们处在一个万物皆变的世界，行星在宇宙中的位置随着时间而变化，气温随着海拔而变化等；在数学中，也存在很多变化的过程，几何方面比如圆的面积随着半径变化等；代数方面，比如代数式的值随着x而变化等.

在这些变化过程中，有些量发生变化，有些量不发生变化，为了研究这些变化的量之间的依赖关系，数学中逐渐形成了函数概念.在以后的学习中我们还会探究函数的不同表示方法以及包括一次函数在内的特殊函数关系.

了解产生函数的原因，为什么学习函数，本节课处于一个什么地位.

关键内容

1.变量与常量概念的理解；

2.函数概念的理解.

了解这节课的重点.

概念理解

我们如何理解这些概念呢？再来回看一下刻舟求剑的故事

回看刻舟求剑的故事：战国时，楚国有个人坐船渡江.船到江心，不慎把宝剑落入水中，马上掏出一把小刀，在船舷上刻上个记号.

船靠岸后，那楚人立即在船上刻有记号的地方下水，去捞取掉落的宝剑.楚人捞了半天，始终不见宝剑的影子.

故事中涉及了哪些量？哪些量是发生变化的？哪些量是没有变的？

继续分析这个故事，为了方便计算，我们假设船是顺流而行，并且匀速运动，速度为80m/min，水流速度为10m/min，设船行驶的路程为Sm，行驶时间为tmin.

此时变化的量和没有发生变化的量有哪些？他们之间有什么关联？

变化的量：船行驶的路程和时间；没有变化的量：水流速度和船的速度

经过分析，可以得出：，即

当行驶时间分别为1min，2min，3min，4min，5min时，楚国人掉落的宝剑距离他有多远？

为了更好的表示，我们用一个表格求值.

在以上计算中，我们感受到S和t之间的一种数值对应关系.

为了更深的体会这一点，我们再来看几个例子.同学们在分析以下几个题目时可以按暂停，自己做完再看看跟老师的答案一样吗？并且在填写的过程中，思考三个问题：这个变化过程中，有哪些量？这些量有什么特征？它们之间有什么关系？

例1电影《攀登者》，我们假设票价为40元/张.第一场售出150张，第二场售出205张票，第三场售出310张票，三场电影的票房收入各多少元？设一场电影售出x张票，票房收入为y元.

x/张

150

205

310

y/元

来看看你求对了吗？电影《攀登者》的票房可观，是因为攀登珠峰的画面感动着我们。那么为什么攀登珠峰会这么困难？

我们来看下面这个例子.

例2珠穆朗玛峰北部在我国西藏定日县境内，适宜在5月份攀登.为了便于计算，我们假设当地平均海拔5km，5月份平均最低温度为℃，下表表示了温度随海拔而变化的情况.补充完整。

海拔h/km

4

5

6

7

8

…

温度t/℃

1

…

根据表格中的数据我们可以得出结论：海拔每上升1千米，温度就下降6℃，因此计算出海拔8千米时的温度是-23℃.

可以看出攀登珠峰时会遇到的困难之一是温度比较低.

我们继续往下看.

例3一定质量的气体在体积不变时，假若温度降低到，作为热力学温度的零度，热力学温度T(K)与摄氏温度t(℃)之间有如下数量关系：T=t+273，.

t取定一些值时，T为多少？填写下表：

t/℃

0

3

17

T/K

我们要关注到这个例子中有一个表达式，表格中的数值都可以根据这个表达式求出.

例4摩天轮转动时，坐在座位上的人离开的高度是怎么变化的？下图反映了摩天轮上一点的高度h/m与旋转时间t/min之间的关系.根据图形，填写下表：

t/min

0

1

2

3

4

5

…

h/m

…

这个例子中我们要关注到图象的特征，根据图象给出的信息填表时可以用在图象上画竖线的方法准确地找到h的值.

【归纳1】

这些问题反映了不同事物的变化过程.其中有些量的数值是变化的，例如时间t，路程s；售出票数x，票房收入