2025年“数形结合”方法归纳总结 .pdfVIP

非淡泊无以明志，非宁静无以致远。——诸葛亮

“数形结合”方法归纳总结

一、以数助形

“数（代数）”与“形（几何）”是中学数学的两个主要研究对

象，而这两个方面是紧密联系的．体现在数学解题中，包括“以数助

形”和“以形助数”两个方面．“数”与“形”好比数学的“左右

腿”．全面理解数与形的关系，就要从“以数助形”和“以形助数”

这两个方面来体会．此外还应该注意体会“数”与“形”各自的优势

与局限性，相互补充．“数缺形时少直觉，形少数时难入微；数形结

合百般好，隔离分家万事非．”华罗庚的这四句诗很好地总结了“数

形结合、优势互补”的精要，“数形结合”是一种非常重要的数学方

法，也是一种重要的数学思想，在以后的数学学习中有重要的地位．

要在解题中有效地实现“数形结合”，最好能够明确“数”与

“形”常见的结合点，，从“以数助形”角度来看，主要有以下两个

结合点：（1）利用数轴、坐标系把几何问题代数化（在高中我们还将

学到用“向量”把几何问题代数化）；（2）利用面积、距离、角度等

几何量来解决几何问题，例如：利用勾股定理证明直角、利用三角函

数研究角的大小、利用线段比例证明相似等．

二、以形助数

几何图形具有直观易懂的特点，所以在谈到“数形结合”时，更

多的老师和学生更偏好于“以形助数”，利用几何图形解决代数问题，

常常会产生“出奇制胜”的效果，使人愉悦．几何直观运用于代数主

要有以下几个方面：

（1）利用几何图形帮助记忆代数公式，例如：

正方形的分割图可以用来记忆完全平方公式；

将两个全等的梯形拼成一个平行四边形可以用来记忆梯形面积公

式；等等．

（2）利用数轴或坐标系将一些代数表达式赋予几何意义，通过构

造几何图形，依靠直观帮助解决代数问题，或者简化代数运算．比如：

绝对值的几何意义就是数轴上两点之间的距离；

学而不知道，与不学同；知而不能行，与不知同。——黄睎

数的大小关系就是数轴上点的左右关系，可以用数轴上的线段表

示实数的取值范围；

利用函数图像的特点把握函数的性质：一次函数的斜率（倾斜程

度）、截距，二次函数的对称轴、开口、判别式、两根之间的距离，

等等；

一元二次方程的根的几何意义是二次函数图像与x轴的交点；

函数解析式中常数项的几何意义是函数图像与y轴的交点（函数

在x=0时有意义）；

锐角三角函数的意义就是直角三角形中的线段比例．