第06讲复数的概念（春季讲义）（人教A版2019）（原卷版）.docx

第06讲复数的概念

【人教A版2019】

模块一

模块一

数系的扩充和复数的概念

1．数系的扩充与复数的相关概念

(1)复数的引入

为了解决这样的方程在实数系中无解的问题，我们引入一个新数i，规定：

①，即i是方程的根；

②实数可以和数i进行加法和乘法运算，且加法和乘法的运算律仍然成立.

在此规定下，实数a与i相加，结果记作a+i；实数b与i相乘，结果记作bi；实数a与bi相加，结果

记作a+bi.注意到所有实数以及i都可以写成a+bi(a,b∈R)的形式，从而这些数都在扩充后的新数集中.

(2)复数的概念

我们把形如a+bi(a,b∈R)的数叫做复数，其中i叫做虚数单位.全体复数构成的集合C={a+bi|a,b∈R}叫

做复数集.这样，方程在复数集C中就有解x=i了.

(3)复数的表示

复数通常用字母z表示，即z=a+bi(a,b∈R).以后不作特殊说明时，复数z=a+bi都有a,b∈R，其中的a与b分别叫做复数z的实部与虚部.

(4)复数的分类

对于复数a+bi，当且仅当b=0时，它是实数；当且仅当a=b=0时，它是实数0；当b≠0时，它叫做虚数；当a=0且b≠0时，它叫做纯虚数.

显然，实数集R是复数集C的真子集，即.

复数z=a+bi可以分类如下：

复数，

复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系，可用图表示.

2．复数相等

在复数集C={a+bi|a,b∈R}中任取两个数a+bi，c+di(a,b,c,d∈R)，我们规定：a+bi与c+di相等当且仅当

a=c且b=d，即当且仅当两个复数的实部与实部相等、虚部与虚部相等时，两个复数才相等.

【题型1复数的基本概念】

【例1.1】（2425高一下·全国·课后作业）下列四种说法正确的是（????）

A．如果实数a=b，那么a?b+(a+b)i

B．实数是复数．

C．如果a=0，那么z=a+bi

D．任何数的偶数次幂都不小于零．

【例1.2】（2425高一下·湖南长沙·阶段练习）已知i为虚数单位，下列说法正确的是（????）

A．若x2+1=0，则x=

C．z=x2+1i可能是实数

【变式1.1】（2024高一下·江苏·专题练习）下列命题：

①若a∈R，则a+1

②若a，b∈R，且ab，则a+

③若x2?4+

④实数集是复数集的真子集.

其中正确的是（????）

A．① B．② C．③ D．④

【变式1.2】（2425高一下·上海·课后作业）下列说法正确的是（????）

A．i表示虚数单位，所以它不是一个虚数

B．?1的平方根是±

C．bi

D．若z=aa∈R，则复数z

【题型2已知复数的类型求参数】

【例2.1】（2324高一下·重庆·阶段练习）若复数a2?a?2+a?1

A．a=?1 B．a≠?1且a≠2 C．a≠?1 D．a≠2

【例2.2】（2324高一下·安徽安庆·期末）已知a，b均为实数，复数：z=a2?b+(b?2a)i，其中i为虚数单位，若z3，则

A．?1,3 B．(?∞,?1)∪(3,+∞) C．

【变式2.1】（2324高一下·甘肃定西·期末）已知复数z=m

(1)若复数z是纯虚数，求实数m的值；

(2)当非零复数z的实部和虚部互为相反数时，求实数m的值．

【变式2.2】（2425高一上·上海·课堂例题）求实数m的值或取值范围，使得复数z=m

(1)实数；

(2)虚数；

(3)纯虚数；

(4)0.

【题型3复数相等的求参问题】

【例3.1】（2024·湖南岳阳·模拟预测）已知i为虚数单位，x,y为实数，若x+yi+2=3?4i+2y

A．2 B．3 C．4 D．5

【例3.2】（2324高一下·河南驻马店·阶段练习）已知复数z1=2?ai,z2=b?1+2i，（a,b∈

A．a=?1,b=1 B．a=2,b=?3

C．a=2,b=3 D．a=?2,b=3

【变式3.1】（2425高一·全国·课后作业）分别求满足下列条件的实数x，y的值．

(1)2x?1+(y+1)i

(2)x2

【变式3.2】（2324高一下·全国·课堂例题）求满足下列条件的实数x，y的值：

(1)x?2y?

(2)(x+y?3)+(x?y?2)i

(3)x+y+4i

(4)x2

模块二

模块二

复数的几何意义

1．复数的几何意义

(1)复平面

根据复数相等的定义，可得复数z=a+bi有序实数对(a,b)，而有序实数对(a,b)平面

直角坐标系中的点，所以复数集与平面直角坐标系中的点集之间可以建立一一对应关系.

如图所示，点Z的横坐标是a，纵坐标是b，复数z=a+bi可用点Z(a,b)表示，这个建立了直角坐标系来

表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴.

(2)复数的几何意义——与点对应

由上可知，每一个复数，有复平面内唯一的一个点和它