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八年级下学期数学练习题及答案

20．如图1，点C在线段AB上，（点C不与A、B重合），分别以AC、BC为边在AB同侧

作等边三角形ACD和等边三角形BCE，连接AE、BD交于点P．

【观察猜想】

①AE与BD的数量关系是AE＝BD；

②∠APD的度数为60°．

【数学思考】

如图2，当点C在线段AB外时，（1）中的结论①、②是否仍然成立？若成立，请给予

证明；若不成立，请你写出正确结论再给予证明；

【拓展应用】

如图3，点E为四边形ABCD内一点，且满足∠AED＝∠BEC＝90°，AE＝DE，BE＝CE，

对角线AC、BD交于点P，AC＝10，则四边形ABCD的面积为50．

【分析】【观察猜想】：证明△ACE≌△DCB（SAS），可得AE＝BD，∠CAO＝∠ODP，

由∠AOC＝∠DOP，推出∠DPO＝∠ACO＝60°．

【数学思考】：结论成立，证明方法类似．

【拓展应用】：证明AC⊥BD，可得SABCD＝•AC•DP+•AC•PB＝•AC（•DP+PB）

四边形

＝•AC•BD．

【解答】解：【观察猜想】：结论：AE＝BD．∠APD＝60°．

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理由：设AE交CD于点O．

∵△ADC，△ECB都是等边三角形，

∴CA＝CD，∠ACD＝∠ECB＝60°，CE＝CB，

∴∠ACE＝∠DCB，

∴△ACE≌△DCB（SAS），

∴AE＝BD，∠CAO＝∠ODP，

∵∠AOC＝∠DOP，

∴∠DPO＝∠ACO＝60°，

即∠APD＝60°．

故答案为AE＝BD，60°．

【数学思考】：结论仍然成立．

理由：设AC交BD于点O．

∵△ADC，△ECB都是等边三角形，

∴CA＝CD，∠ACD＝∠ECB＝60°，CE＝CB，

∴∠ACE＝∠DCB

∴△ACE≌△DCB（SAS），

∴AE＝BD，∠PAO＝∠ODC，

∵∠AOP＝∠DOC，

∴∠APO＝∠DCO＝60°，

即∠APD＝60°．

【拓展应用】：

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设AC交BE于点O．

∵△ADC，△ECB都是等腰直角三角形，

∴ED＝EA，∠AED＝∠BEC＝90°，CE＝EB，

∴∠AEC＝∠DEB

∴△AEC≌△DEB（SAS），

∴AC＝BD＝10，∠PBO＝∠OCE，

∵∠BOP＝∠EOC，

∴∠BPO＝∠CEO＝90°，

∴AC⊥BD，

∴SABCD＝•AC•DP+•AC•PB＝•AC•（DP+PB）＝•AC•BD＝50．

四边形

故答案为50．

【点评】本题属于四边形综合题，考查了等边三角形的性质，等腰直角三角形的性质等

知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考压轴题．

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