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24函数的周期性与对称性讲义

一、函数的周期性

(一)周期性概念

1.周期函数：函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．

2.最小正周期：如果周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小正数，就叫做f(x)的最小正周期．

提醒：若T是函数f(x)的一个周期，则nT(n∈Z，n≠0)也是函数f(x)的周期．

(二)周期性的常用结论

1.(1)f(x+a)=?f(x)+t(t∈R

(2)f(x+a)=kf(x)

(3)f(x+a)=1?f(x)1+f(x)，则T=2a

(5)若f(x+2a)=f(x+a)?f(x),则T＝6

二、函数的对称性

(一)奇函数、偶函数的对称性

(1)奇函数关于原点对称，偶函数关于y轴对称．

(2)若f(x＋a)是偶函数，则f(x)关于直线x＝a对称；若f(x＋a)是奇函数，则f(x)关于点(a，0)对称．

(二)轴对称

(1)如果f(x＋a)＝f(b－x)?y＝f(x)关于直线x＝a+b

(2)若y＝f(x)关于直线x＝a对称?f(a＋x)＝f(a－x)?f(2a－x)＝f(x)f?(2a＋x)＝f(－x)

(三)函数的点(中心)对称

(1)若y＝f(x)关于点(a，b)对称?f(a＋x)＋f(a－x)＝2b?f(2a－x)+f(x)=2b?f(2a＋x)+f(－x)=2b

推论：若y＝f(x)关于点(a，0)对称?f(a＋x)＝－f(a－x)?f(2a－x)＝－f(x)?f(2a＋x)＝－f(－x)

(2)f(x＋a)+f(b－x)=c?y＝f(x)关于点(a

(四)两个函数图象的对称

1.若f(x)与g(x)关于直线x=a对称，则g(x)=f(2

特殊地：若f(x)与g(x)关于y轴对称，则g(x)=f(?x)

2.f(a+x)与f(b?x)

3.若f(x)与g(x)关于直线y=b对称，则g(x)=2b?f(x)

若f(x)与g(x)关于x轴对称，则g(x)=?f(x)

4.若f(x)与g(x)关于点P(a,b)对称，则

特殊地：若f(x)与g(x)关于原点对称，则g(x)=?f(?x)

(五)常见的对称图形

1.y＝f(x)eq\o(――――――――→,\s\up7(关于x轴对称))y＝－f(x)；

2.y＝f(x)eq\o(―――――――――→,\s\up7(关于y轴对称))y＝f(－x)；

3.y＝f(x)eq\o(―――――――――→,\s\up7(关于原点对称))y＝－f(－x)；

4.y＝ax(a0且a≠1)eq\o(――――――――→,\s\up7(关于y＝x对称))y＝logax(a0且a≠1)．

5.y＝f(x)eq\o(――――――――――――――――→,\s\up7(保留x轴上方图象),\s\do5(将x轴下方图象翻折上去))y＝|f(x)|.

6.y＝f(x)eq\o(――――――――――→,\s\up7(保留y轴右边图象，并作其),\s\do5(关于y轴对称的图象))y＝f(|x|)．

三、函数对称性与周期性的关系（类比三角函数）：若函数存在两个对称关系，则必然是周期函数；

口诀：两次对称成周期，两轴两心二倍差，一轴一心四倍差(或：同性两距离，异性4距离)。)

(1)若函数f(x)关于直线x＝a与x＝b对称，则f(x)的一个周期为2|b－a|．

(2)若函数f(x)关于点(a，0)对称，又关于点(b，0)对称，则f(x)的一个周期为2|b－a|．

(3)若函数f(x)关于直线x＝a对称，又关于点(b，0)对称，则f(x)的一个周期为4|b－a|．

总规律：在函数的奇偶性、对称性、周期性这三条性质中，只要已知两条，则第三条一定成立．

3.函数周期性的应用：若T是函数f(x)的一个周期

(1)单调区间：f(x)在区间(a,b)(b?a≤T

(2)f(x)周期为，如果f(x)存在一条对称轴，则f(x)存在无数条对称轴，其通式为x=a+kT

如果f(x)存在一个对称中心(a,0)，则f(x)存在无数个对称中心，其通式为(a

考点一函数的周期性

命题点1周期性

【例111】定义在R上的非常数函数满足：为偶函数，且，则一定是()

A．是偶函数，也是周期函数B．是偶函数，但不是周期函数

C．是奇函数，也是周期函数D．是奇函数，但不是周期函数

【例112】（2024·重庆·三模）已知是定义域为的奇函数且满足，则（）

A． B．0 C．1 D．

【例113】(2023·泸州模拟)R上的函数f(x)的图象关于y轴对称，且周期为3，又f(－1)＝1，f(0)＝－2，

则f