两角和与差的三角函数（4个知识点7类热点题型讲练习题巩固）.docx

10．1两角和与差的三角函数

课程标准

学习目标

（1）了解两角和与差的余弦、正弦、正切公式的推导过程.

（1）理解两角和与差的余弦、正弦、正切公式间的关系，熟记两角和与差的余弦、正弦、正切公式的形式及符号特征，并能利用公式进行化简求值．

知识点01两角和的余弦函数

两角和的余弦公式：

知识点诠释：

（1）公式中的都是任意角；

（2）和差角的余弦公式不能按分配律展开，即；

（3）公式使用时不仅要会正用，还要能够逆用，在很多时候，逆用更能简捷地处理问题．

（4）记忆：公式右端的两部分为同名三角函数积，连接符号与等号左边角的连接符号相反．

【即学即练1】cos255°的值是（????）

A． B．

C． D．

【答案】C

【解析】因为.

故选：C.

知识点02两角和与差的正弦函数

两角和正弦函数

在公式中用代替，就得到：

两角差的正弦函数

知识点诠释：

（1）公式中的都是任意角；

（2）与和差角的余弦公式一样，公式对分配律不成立，即；

（3）和差公式是诱导公式的推广，诱导公式是和差公式的特例．如

当或中有一个角是的整数倍时，通常使用诱导公式较为方便；

（4）使用公式时，不仅要会正用，还要能够逆用公式，如化简时，不要将和展开，而应采用整体思想，进行如下变形：

这也体现了数学中的整体原则．

（5）记忆时要与两角和与差的余弦公式区别开来，两角和与差的余弦公式的等号右端的两部分为同名三角函数积，连接符号与等号左边角的连接符号相反；两角和与差的正弦公式的等号右端的两部分为异名三角函数积，连接符号与等号左边角的连接符号相同．

【即学即练2】求75°，15°角的正弦值．

【解析】．

．

知识点03两角和与差的正切函数

知识点诠释：

（1）公式成立的条件是：，或，其中；

（2）公式的变形：

（3）两角和与差的正切公式不仅可以正用，也可以逆用、变形用，逆用和变形用都是化简三角恒等式的重要手段，如就可以解决诸如的求值问题．所以在处理问题时要注意观察式子的特点，巧妙运用公式或其变形，使变换过程简单明了．

（4）公式对分配律不成立，即．

【即学即练3】的值为．

【答案】/

【解析】

.

故答案为：.

知识点04理解并运用和角公式、差角公式需注意的几个问题

1、两角和与差的正弦、余弦、正切公式之间的内在联系

（1）掌握好表中公式的内在联系及其推导线索，能帮助学生理解和记忆公式，是学好本部分的关键．

（2）诱导公式是两角和、差的三角函数公式的特殊情况．，中若有为的整数倍的角时，使用诱导公式更灵活、简便，不需要再用两角和、差公式展开．

2、重视角的变换

三角变换是三角函数的灵魂与核心，在三角变换中，角的变换是最基本的变换，在历年的高考试题中多次出现，必须引起足够的重视．常见的角的变换有：

；；；等，常见的三角变换有：切化弦、等．

【即学即练4】已知满足，则．

【答案】

【解析】因为，

所以，

又因为，

所以，

所以

.

故答案为：.

题型一：两角和与差的余弦公式

【典例11】求下列各式的值：

(1)；

(2)；

(3)

【解析】（1）

.

（2）

（3）

.

【典例12】求下列各式的值：

(1)；

(2)．

【解析】（1）

.

（2）

.

【方法技巧与总结】

已知，的某种三角函数值，求的余弦，先要根据平方关系求出、的另一种三角函数值．求解过程中要注意先根据角的范围判断所求三角函数值的符号，然后再将求得的函数值和已知函数值代入和角或差角的三角函数公式中求值．

【变式11】化简：

(1)；

(2)．

【解析】（1）原式；

（2）原式．

【变式12】求下列各式的值：

(1)；

(2)；

(3).

【解析】（1）原式

.

（2）原式

.

（3）原式

.

【变式13】求值

(1)

(2)

【解析】（1）

.

（2）

.

题型二：两角和与差的正弦公式

【典例21】求下列各式的值：

(1)；

(2)．

【解析】（1）原式．

（2）原式．

【典例22】化简：

(1)；

(2)．

【解析】（1）由题意，由两角和的正弦公式逆用可得.

（2）由题意，由两角和的正弦公式、切弦互化商数关系可得

.

【方法技巧与总结】

已知，的某种三角函数值，求的正弦，先要根据平方关系求出、的另一种三角函数值．求解过程中要注意先根据角的范围判断所求三角函数值的符号，然后再将求得的函数值和已知函数值代入和角或差角的三角函数公式中求值．

【变式21】化简求值：

(1)；

(2).

【解析】（1）

（2）

题型三：两角和与差的正切公式

【典例31】已知，都是锐角，且，则的最小值为.

【答案】/

【解析】都是锐角，所以，

由，

可得，

由基本不等式有，

所以，

可得或（舍）

所以，

当且仅当时，等号成立，

故的最小值为