函数的性质及其应用.pdf

2022年高考数学总复习：函数的性质及其应用

例2(1)已知偶函数f(x)在[0，＋∞)单调递减，f(2)＝0.若f(x－1)0，则x的取

值范围是(－1,3).

[解析](1)∵f(x)是偶函数，∴图象关于y轴对称．

又f(2)＝0，且f(x)在[0，＋∞)单调递减，

则f(x)的大致图象如图所示，

由f(x－1)0，得－2x－12，即－1x3.

1

(2)设奇函数y＝f(x)(x∈R)，满足对任意t∈R都有f(t)＝f(1－t)，且x∈[0，]时，f(x)＝

2

31

2)的值等于－.

－x，则f(3)＋f(－24

[解析]根据对任意t∈R都有f(t)＝f(1－t)可得f(－t)＝f(1＋t)，

即f(t＋1)＝－f(t)，进而得到

f(t＋2)＝－f(t＋1)＝－[－f(t)]＝f(t)，

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得函数y＝f(x)的一个周期为2，故f(3)＝f(1)＝f(0＋1)＝－f(0)＝0，f(－)＝f()＝－.

224

311

所以f(3)＋f(－)＝0＋(－)＝－.

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『规律总结』

函数的性质主要是函数的奇偶性、单调性和周期性以及函数图象的对称性，在解题中根

据问题的条件通过变换函数的解析式或者已知的函数关系，推证函数的性质，根据函数的性

质解决问题．

跟踪训练

G

enzongxunlian

1．已知函数f(x)＝ax3＋bsinx＋4(a，b∈R)，f(lg(log210))＝5，则f(lg(lg2))等于(C)

A．－5B．－1

C．3D．4

1

[解析]lg(log10)＝lg()＝－lg(lg2)，

2lg2

3

由f(lg(log210))＝5，得a[lg(lg2)]＋bsin(lg(lg2))＝4－5＝－1，

3

则f(lg(lg2))＝a(lg(lg2))＋bsin(lg(lg2))＋4＝－1＋4＝3.

2．已知函数f(x)＝x3＋x，对任意的m∈[－2,2]，f(mx－2)＋f(x)0恒成立，则x的取值

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2

范围为(－2，3).

[解析]易知f(x)为增函数．

又f(x)为奇函数，由f(mx－2)＋f(x)0知，

f(mx－2)f(－x)．

∴mx－2－x，即mx＋x－20，

令g(m)＝mx＋x－2，由m∈[－2,2]知g(m)0恒成立，

g－2＝－x－202

即，∴－2x.

g2＝3