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函数的奇偶性与周期性
1．(2018·全国卷Ⅱ)已知f(x)是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，
满足f(1－x)＝f(1＋x)．若f(1)＝2，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)＝
(C)
A．－50B．0C．2D．50
解析：∵f(x)是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，
∴f(0)＝0，f(－x)＝－f(x)，①
又∵f(1－x)＝f(1＋x)，∴f(－x)＝f(2＋x)，②
由①②得f(2＋x)＝－f(x)，③
用2＋x代替x得f(4＋x)＝－f(2＋x)．④
由③④得f(x)＝f(x＋4)，
∴f(x)的最小正周期为4.
由于f(1－x)＝f(1＋x)，f(1)＝2，
故令x＝1，得f(0)＝f(2)＝0，
令x＝2，得f(3)＝f(－1)＝－f(1)＝－2，
令x＝3，得f(4)＝f(－2)＝－f(2)＝0，
故f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝2＋0－2＋0＝0，
所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)＝12×0＋f(1)＋f(2)＝0＋2＋0＝
2.故选C.
2．(2017·天津卷)已知奇函数f(x)在R上是增函数，g(x)＝xf(x)．若
0.8
a＝g(－log5.1)，b＝g(2)，c＝g(3)，则a，b，c的大小关系为(C)2
A．a＜b＜cB．c＜b＜a
C．b＜a＜cD．b＜c＜a
解析：奇函数f(x)在R上是增函数，
当x＞0时，f(x)＞f(0)＝0，
当x＞x＞0时，f(x)＞f(x)＞0，1212
∴xf(x)＞xf(x)，
1122
∴g(x)在(0，＋∞)上单调递增，且g(x)＝xf(x)是偶函数，
∴a＝g(－log5.1)＝g(log5.1)．22
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0.8
2＜log5.1＜3,1＜2＜2，2
由g(x)在(0，＋∞)上单调递增，
0.8
得g(2)＜g(log5.1)＜g(3)，2
∴b＜a＜c，故选C.
3．(2016·山东卷)已知函f(x)的定义域为R.当x＜0时，f(x)＝x3
111
－1；当－1≤x≤1时，f(－x)＝－f(x)；当x＞时，fx＋＝fx－.
222
则f(6)＝(D)
A．－2B．－1
C．0D．2
111
解析：当x＞时，由fx＋＝fx－可得f(x)＝f(x＋1)，所以f(6)
222
＝f(1)，而f(1)＝－f(－1)，f(－1)＝(－1)－1＝－2，所以f(6)＝f(1)＝2，3
故选D.
4．(2016·四川卷)已知函f(x)是定义在R上的周期为2的奇函
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