2025年高考数学复习核心考点(新高考专用)专题8.6双曲线【十一大题型】特训(学生版+解析).docxVIP

专题8.6双曲线【十一大题型】

【新高考专用】

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【题型1双曲线的定义及其应用】 4

【题型2双曲线的标准方程】 5

【题型3曲线方程与双曲线】 5

【题型4求双曲线的轨迹方程】 6

【题型5双曲线中焦点三角形问题】 7

【题型6双曲线上点到焦点的距离及最值问题】 7

【题型7双曲线中线段和、差的最值问题】 8

【题型8求双曲线的离心率或其取值范围】 8

【题型9双曲线的简单几何性质问题】 9

【题型10双曲线的实际应用问题】 10

【题型11椭圆与双曲线综合】 11

1、双曲线

考点要求

真题统计

考情分析

(1)了解双曲线的定义、几何图形和标准方程

(2)掌握双曲线的几何性质(范围、对称性、顶点、渐近线、离心率)

(3)了解双曲线的简单应用

2023年新高考I卷：第16题，5分

2023年全国甲卷（文数）：第8题，5分

2023年北京卷：第12题，5分

2023年天津卷：第9题，5分

2024年新高考I卷：第12题，5分

2024年全国甲卷（理数）：第5题，5分

双曲线是圆锥曲线中的重要内容，是高考命题的重点.从近几年的高考情况来看，主要考查双曲线的定义、方程与性质等知识，题型比较丰富，选择、填空、解答题都可能出现，选择、填空题中难度中等偏易，解答题中难度偏大，有时会与向量等知识结合考查，需要学会灵活求解.

【知识点1双曲线及其性质】

1．双曲线的定义

双曲线的定义：平面内与两个定点的距离的差的绝对值等于非零常数(小于)的点的轨迹叫

作双曲线.这两个定点叫作双曲线的焦点，两焦点间的距离叫作双曲线的焦距.

2．双曲线的标准方程

双曲线的标准方程与其在坐标系中的位置的对应关系：

双曲线在坐标系中的位置

标准方程

焦点坐标

F1(-c,0),F2(c,0)

F1(0,-c),F2(0,c)

a,b,c的关系

3．双曲线的简单几何性质

双曲线的一些几何性质：

图形

标准方程

范围

x≥a或x≤-a,y∈R

y≥a或y≤-a,x∈R

对称性

关于x轴、y轴对称，关于原点中心对称

顶点

A1(-a,0),A2(a,0)

A1(0,-a),A2(0,a)

半轴长

实半轴长为a,虚半轴长为b

离心率

渐近线方程

4．双曲线的离心率

(1)定义：双曲线的焦距与实轴长的比，叫作双曲线的离心率.

(2)双曲线离心率的范围：e1.

(3)离心率的意义：离心率的大小决定了渐近线斜率的大小，从而决定了双曲线的开口大小.

因为=，所以e越大，越大，则双曲线的开口越大.

(4)等轴双曲线的两渐近线互相垂直，离心率e=.

【知识点2双曲线方程的求解方法】

1．双曲线方程的求解

(1)用定义法求双曲线的标准方程

根据双曲线的定义，确定的值，结合焦点位置可写出双曲线的标准方程.

(2)用待定系数法求双曲线的标准方程

用待定系数法求双曲线的标准方程时，先确定焦点在x轴还是y轴上，设出标准方程，再由条件确定

a2，b2的值，即“先定型，再定量”，如果焦点的位置不好确定，可将双曲线的方程设为或，再根据条件求解.

(3)与双曲线有相同渐近线时，可设所求双曲线方程为.

【知识点3双曲线的焦点三角形的相关结论】

1．双曲线的焦点三角形

(1)焦点三角形的概念

设P是双曲线上一点，,为双曲线的焦点，当点P,,不在同一条直线上时，它们构成一个焦

点三角形，如图所示.

(2)焦点三角形的常用结论

若P是双曲线上不同于实轴两端点的任意一点，,分别为双曲线的左、右焦点，则，其中为.

【知识点4双曲线的离心率或其取值范围的解题策略】

1．求双曲线离心率或其取值范围的方法

(1)直接求出a,c的值，利用离心率公式直接求解.

(2)列出含有a,b,c的齐次方程(或不等式)，借助于消去b，转化为含有e的方程(或不等式)

求解.

【知识点5双曲线中的最值问题的解题策略】

1．双曲线中的最值问题

求解此类问题一般有以下两种思路：

(1)几何法：若题目中的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来解决，这就是几何法.解题的关键是能够准确分析出最值问题所隐含的几何意义，并能借助相应曲线的定义求解.

(2)代数法：若题目中的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可建立目标函数，将目标变量表示为一个(或多个)变量的函数关系式，然后根据函数关系式的特征选用配方法、判别式法，应用基本不等式以及三角函数的最值求法求出最大值、最小值或范围，但要注意自变量的取值范围对最值的影响.

【方法技巧与总结】

1．双曲线的焦点到其渐近线的距离为b.

2．若P是双曲线右支上一点，F1,F2分别为双曲线的左、右焦点，则，.