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上海市交通大学附属中学2024-2025学年高一下学期开学摸底考试数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、填空题

1．已知集合，，且，则实数．

2．函数的定义域为.

3．已知常数且，假设无论为何值，函数的图像恒经过一个定点，则这个点的坐标为．

4．已知角的终边经过点，则．

5．若（为常数）是奇函数，则实数．

6．已知，若对任意，都有，则实数的值是．

7．两正数a与b的几何平均值为2，则与的算术平均值的最小值为．

8．若不等式的解集为，则实数的值为________．

9．中，，则．

10．已知函数在区间上单调通增，则的取值范围是．

11．定义在上的函数在上是严格增函数，且函数为偶函数，则不等式的解集为．

12．已知函数．给出下列四个结论：

①；

②存在，使得；

③对于任意的，都有；

④对于任意的，都有．

其中所有正确结论的序号是．

二、单选题

13．已知实数，，，满足：，则下列不等式一定正确的是（????）

A． B． C． D．

14．设与是两个不同的幂函数，记，则中的元素个数的可能是（????）.

A．0、1、2、 B．1、2、3 C．1、2、3、4 D．0、1、2、3

15．中，以下与“”不等价的是（????）

A． B．

C． D．

16．已知函数定义域和值域均为，有两个命题：

命题若对任意，且，都有，则是增函数；

命题若对任意，且，都有，则是奇函数.

则正确的说法是（????）

A．命题是真命题，命题也是真命题 B．命题是真命题，命题是假命题

C．命题是假命题，命题是真命题 D．命题是假命题，命题也是假命题

三、解答题

17．已知函数为幂函数，且在上单调递增．

(1)求的解析式；

(2)若，求实数a的取值范围．

18．已知，函数为奇函数，为常数．

(1)求的值；

(2)若对于区间上的每一个的值，不等式恒成立，求实数的取值范围．

19．数学家在研究平面几何问题时分别总结出如下结论：

①四边形的四个顶点共圆的充要条件是四边形的内对角互补．

②（托勒密定理）任意凸四边形，两组对边的乘积之和不小于两条对角线的乘积，当且仅当该四边形的四个顶点共圆时等号成立．

③婆罗摩笈多面积定理）若给定凸四边形的四条边长，当且仅当该四边形的四个顶点共圆时，四边形的面积最大．

根据上述材料，解决以下问题：

(1)见图1，若，求线段长度的最大值，并求出此时线段长度；

(2)见图2，若，求四边形面积的最大值，并求出此时角的大小．

20．已知函数．

(1)当时，求函数的单调增区间；

(2)当时，设，且函数的图像关于直线对称，将函数的图像向右平移个单位，得到函数，求解不等式；

(3)当时，若实数使得对任意实数恒成立，求实数的值．

21．定义在上的函数满足：对任意的，有，则称函数具有性质．

(1)判断函数是否具有性质；

(2)若函数具有性质，求证：；

(3)求证：“函数具有性质”的充要条件是“对任意的，成立”．

四、填空题

22．“三角形内角嵌入不等式”是英国数学家约瑟夫·沃尔斯滕霍姆所提出的平面几何中的一个不等式，在不至于引起歧义的情况下简称“嵌入不等式”．该不等式指出，若、、是的三个内角，则对任意实数、、，有：，不等式的取等条件为：存在实数，使得．

根据上述材料，解决以下问题：

（1）中，的最大值为，取得最大值时，；

（2）对于非零实数、、，的最大值为．

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《上海市交通大学附属中学2024-2025学年高一下学期开学摸底考试数学试题》参考答案

题号

13

14

15

16

答案

C

B

C

B

1．

【分析】根据集合中元素的互异性求的值.

【详解】，或，由互异性，.

故答案为：．

2．

【详解】由题意得，解得定义域为．

3．

【分析】根据指数函数恒过定点求解即可．

【详解】因为当时，即时，，

所以函数的图像恒经过定点，

故答案为：．

4．

【分析】利用任意角的三角函数的定义，求得的值．

【详解】设坐标原点为，

由题意可得：，

故.

故答案为：.

5．

【分析】利用奇函