一次函数与存在性（5）菱形【题集A】(教师版).pdfVIP

一次函数与存在性（5）菱形【题集A】

一、课堂目标

理解并掌握菱形存在问题的解题策略．

二、知识讲解

菱形的存在性

有一组相等的是菱形．因此，菱形存在性问题可转化为存在性加存

在性问题．

如点C是直线l上一点，在平面内找一点D使得以点A、B、C、D为顶点的四边形为菱形．

第一步，由“两圆一线”，先在直线l找到点C使得△ABC为等腰三角形，这样，就相当于找到了菱

形的一半，满足情况的点C有个；

第二步，由“平移法”或“中点法”找到点D使得以点A、B、C、D为顶点的四边形为平行四边

形，这样作出的平行四边形就是菱形．

在具体的求解过程中，点C坐标可以由等腰三角形存在性问题的“代数法”求得；

点D坐标继而可以由平行四边形存在性问题的“平移坐标公式法”或“中点坐标公式法”求得．

例题1

如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别相交于点和点，点在轴的正

半轴上，且．

1

（1）求线段的长度．

（2）如果点在直线上，是坐标平面内一点，且以、、、为顶点的四边形为菱形，请

直接写出点的坐标．

【答案】（1）．

（2）或或或．

【解析】（1）∵直线与轴、轴分别相交于点和点，

∴点，点．

∴．

∵，∴，点，

∴的长度是．

（2）根据题意，当以、、、为顶点的四边形为菱形时，

如图：

①为对角线，则在的垂直平分线上，解得，

2

②，解得，

③，解得，

④，解得，

综上点坐标为：或或或．

【标注】【知识点】一次函数与几何综合

练习1

如图，直线：，其中，为直线与轴的交点．若点为轴上一点，在坐

标平面内是否存在点，使以，，，为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点的坐

标；若不存在，请说明理由．

【答案】存在；，，，．

【解析】存在；点的坐标为：，，，

．

【标注】【知识点】一次函数与平行四边形

例题2

3

如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点、，直线与轴交于点

，与直线交于点．

（1）求直线的解析式．

（2）设是射线上一点，在平面内是否存在点，使以、、、为顶点的四边形是菱形？

若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）．

（2），