第08讲二项式定理（春季讲义）（人教A版2019选择性）（原卷版）.docx

第08讲二项式定理

【人教A版2019】

模块一

模块一

二项式定理

1．二项式定理

一般地，对于任意正整数n，都有

.(*)

公式(*)叫做二项式定理，等号右边的多项式叫做的二项展开式，其中各项的系数(k∈{0,1,2,

,n})叫做二项式系数，叫做二项展开式的通项，用表示，即通项为展开式的第k+1项：.

2．二项展开式的规律

(1)二项展开式一共有(n+1)项.

(2)(n+1)项按a的降幂b的升幂排列.

(3)每一项中a和b的幂指数之和为n.

3．二项展开式中的通项问题的求解方法：

求二项展开式中的特定项，一般是化简通项公式后，令字母的指数符合要求(求常数项时，指数为零；

求有理项时，指数为整数等)，解出项数k+1，代回通项公式即可.

【题型1求二项展开式】

【例1.1】（2324高二下·北京通州·期中）二项式x+23的展开式为（????

A．x3+6x

C．x3+12x

【例1.2】（2324高二下·江苏南京·期中）化简x+14?4x+1

A．x4 B．x?14 C．x+14

【变式1.1】（2024·湖南·模拟预测）下列不属于x?23的展开式的项的是（????

A．x3 B．6x2 C．12x

【变式1.2】（2324高二下·辽宁朝阳·期中）化简16?32x+24x2?8

A．x4 B．2?x4 C．2+x4

【题型2求展开式的特定项或特定项的系数】

【例2.1】（2324高二下·广东茂名·期中）x?12x10

A．210 B．252 C．?638

【例2.2】（2324高二下·山西吕梁·期末）若x+mxx?1x

A．2 B．3 C．2 D．3

【变式2.1】（2324高二下·内蒙古赤峰·期中）2x?1x5的展开式中x

A．?80 B．?40 C．40 D．80

【变式2.2】（2324高二下·河北保定·期末）9x+8x5的展开式中含x

A．C52×

C．C51×

模块二

模块二

二项式系数的性质

1．二项式系数的性质

(1)杨辉三角——二项式系数表

当n依次取1,2,3,时，观察的展开式的二项式系数：

从中我们可以看出，左侧三角是根据二项式定理得到的，右侧三角是算出对应的组合数的值后所得结

果，由此我们可以发现以下性质：

①每一行中的二项式系数是对称的，如第一项与最后一项的二项式系数相等，第二项与倒数第二项的

二项式系数相等.

②每一行两端都是1，而且从第二行起，除1以外的每一个数都等于它“肩上”两个数的和.

③从第二行起，每一行的二项式系数从两端向中间逐渐增大.

④第一行的两个数之和为，第二行的三个数之和为，，第六行的各数之和为，，

第n行的(n+1)个数之和为.

(2)二项式系数的性质

对称性

与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等(即)

增减性

当时，二项式系数逐渐增大；当时，二项式系数逐渐减小，因此二项式系数在中间取得最大值

最大值

当n是偶数时，展开式的中间一项的二项式系数最大；当n是奇数时，展开式的中间两项与的二项式系数，相等且最大

各二项式

系数的和

2．两个二项式之积、三项展开式问题的解题策略

(1)对于几个多项式积的展开式中的特定项问题，一般都可以根据因式连乘的规律，结合组合思想求解，

但要注意适当地运用分类方法，以免重复或遗漏；也可利用排列组合的知识求解.

(2)对于三项式问题一般先变形化为二项式再解决，或利用展开式的原理求解.

3．二项式系数的最值问题的求法：

二项式系数最大项的确定方法：当n为偶数时，展开式中第项的二项式系数最大，最大值为；

当n为奇数时，展开式中第项和第项的二项式系数最大，最大值为或.

【题型3用赋值法求系数和问题】

【例3.1】（2324高二下·新疆·期末）已知(2x+3)8=a0+

A．215 B．216 C．217

【例3.2】（2324高二下·山东泰安·期中）已知对任意实数x，(2x?1)8=a

A．a

B．a

C．a

D．a

【变式3.1】（2324高二下·河北石家庄·期末）已知fx=2x?3

(1)求a2

(2)求a1

(3)求a1

【变式3.2】（2324高二下·浙江台州·期中）已知2x?110=a

(1)求a3

(2)求a1

(3)求a0

【题型4多项式积的展开式问题】

【例4.1】（2324高二下·山东菏泽·期中）x?yx+y4的展开式中x2

A．?1 B．?2 C．?3 D．4

【例4.2】（2324高二下·广东梅州·期中）1+2x51?

A．?42 B．?41 C．42 D．43

【变式4.1】（2324高二下·云南大理·期末）1+x1?2x5的展开式中x2

A．?40 B．?10 C．40 D．30

【变式4.2】（2024高三下·全国·专题练习）若x3+4xa+1x6的展开式中

A．3?12 B