2025届新高考数学期末新题汇编：函数与导数解答题（解析版）.docx

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2025届新高考1卷地区高三数学期末新题汇编与专项突破：

函数与导数（解答题专练）

参考答案

1．(1)0

(2)

【知识点】已知切线（斜率）求参数、求已知函数的极值

【分析】（1）利用导数判断函数的单调性，再求极值即可；

（2）求的导数，根据导数和切线斜率的关系求解即可.

【详解】（1）的定义域为，

当时，，，

令，得，

当时，fx0，在0,1

当时，fx0，在单调递增，

所以在处取得极小值，极小值为f1=0；

（2），

由题意得

消去得，

令，易知在上单调递增，

且，所以，

将代入，得.

所以.

2．(1)

(2)

【知识点】已知切线（斜率）求参数、利用导数求函数的单调区间（不含参）、根据极值点求参数

【分析】（1）求导，根据极值点的性质可得或6，并结合单调性检验即可得结果；

（2）根据导数的几何意义求切线方程，结合题意列方程求解即可.

【详解】（1）由题意可知：，

因为在处有极小值，则，解得或6，

当时，则，

令，解得或；令，解得；

可知在上单调递增，在上单调递减，

可知在处有极小值，符合题意；

当时，则，

令，解得或；令，解得；

可知在上单调递增，在上单调递减，

可知在处有极大值，不符合题意；

综上所述：，的单调增区间为.

（2）由（1）可知：，

设与切于，

则切线斜率，

可得切线方程为，

它与重合，则，显然，

整理可得，解得，

代入可得，所以.

3．(1)

(2)答案见解析

【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、含参分类讨论求函数的单调区间

【分析】（1）求导函数，利用导数的几何意义求出切线的斜率，代入点斜式直线方程求解即可.

（2）求出导函数，根据和分类讨论，结合二次不等式求解单调区间即可.

【详解】（1）当时，函数，

得，

所以，，

所以曲线在点处的切线方程为，

即切线方程为；

（2）当时，，，

令，得，，

当时，，

令，得或，

令，得，

所以函数的单调增区间为和，单调减区间为

当时，，

令，得或，

令，得，

所以函数的单调增区间为和，单调减区间为；

综上所述，当时，的单调增区间为和，单调减区间为；

当时，的单调增区间为和，单调减区间为．

4．(1)或；

(2)答案见解析

【知识点】已知切线（斜率）求参数、导数的运算法则、含参分类讨论求函数的单调区间

【分析】（1）根据导数的几何意义结合切线方程，列式求解，即得答案.

（2）求出函数的导数，结合二次函数的判别式，分类讨论，判断导数正负，即可求得答案.

【详解】（1）由于，则，

点在上，故；

又，则，

则，解得或；

（2）由题意得的定义域为0,+∞，

则，

令，

当时，即，所以在0,+∞上单调递减；

当时，，

当时，，则在0,+∞上单调递增；

当时，，的根为，

由于，即，

当或时，，

在和上单调递增；

当时，，

在上单调递减；

综上，当时，在0,+∞上单调递减；

当时，在和上单调递增，

在上单调递减.

当时，在0,+∞上单调递增；

5．(1).

(2).

【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、函数单调性、极值与最值的综合应用、含参分类讨论求函数的单调区间

【分析】（1）求导，结合导数的几何意义求在点处的切线方程；

（2）分析和两种情况，利用导数判断单调性和极值，分析可得，构建函数解不等式即可.

【详解】（1）当时，，

所以，

.

所以在切线，

所以切线方程为，即.

（2）因为，其中，

则，

①当时，恒成立，此时函数在上单调递增，无极小值，

②当时，令，可得，列表如下：

-

0

+

递减

极小值

递增

所以，

由题意可得，即，

令，则.

因为，

所以函数在单调递增，

所以由，得，

所以实数的取值范围是.

6．(1)；

(2)证明见解析；

【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、利用导数证明不等式、直线与坐标轴围成图形的面积问题

【分析】（1）利用导数的几何意义求切线方程，根据切线与两坐标轴所围成三角形的面积列方程求参数即可；

（2）对函数求导，根据易知可得，应用分析法转化为证明，构造且，问题化为，导数研究函数最值可得，应用反证法证明时得到矛盾结论，即可证结论.

【详解】（1）由题设，则，

所以在点处的切线为，

令，则；令，则，

所以切线与两坐标轴所围成三角形的面积，可得.

（2）由（1），且，，，

由是的极小值点，则且，可得，

要证，即，需证，即，

令且，只需证，而，

所以当时，，当时，，

所以上单调递减，上单调递增，故，

综上，只需，即即可，

若，则，故，

此时，且，

对于，则，显然时，时，

所以在上单调递减，在上单调递增，则，

所以，故单调递增，无极小值，不符合题设；

综上，，故得证.

7．(1)

(2)证明见解析

(3)．

【知识点】由导数求函数的最值