第11章解三角形章末题型归纳总结（能力篇）（8大题型）（原卷版）.docx

第11章解三角形章末题型归纳总结（能力篇）

【题型归纳目录】

题型一：应用正弦、余弦定理解三角形

题型二：判断三角形的形状

题型三：正弦、余弦定理在实际中的应用

题型四：三角形多解问题

题型五：三角形范围与最值问题

题型六：图形类问题

题型七：角平分线问题、中线问题、高问题

题型八：三角形中的面积与周长问题

【思维导图】

【知识点梳理】

知识点1：基本定理公式

（1）正余弦定理：在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则

定理

正弦定理

余弦定理

公式

；

；

．

常见变形

（1），，；

（2），，；

；

；

．

（2）面积公式：

（r是三角形内切圆的半径，并可由此计算R，r．）

知识点2：相关应用

（1）正弦定理的应用

=1\*GB3①边化角，角化边

=2\*GB3②大边对大角大角对大边

=3\*GB3③合分比：

（2）内角和定理：

=1\*GB3①

同理有：，．

=2\*GB3②；

=3\*GB3③斜三角形中，

=4\*GB3④；

=5\*GB3⑤在中，内角成等差数列．

知识点3：实际应用

1、仰角和俯角

在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角（如图①）．

2、方位角

从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α（如图②）．

3、方向角：相对于某一正方向的水平角．

（1）北偏东α，即由指北方向顺时针旋转α到达目标方向（如图③）．

（2）北偏西α，即由指北方向逆时针旋转α到达目标方向．

（3）南偏西等其他方向角类似．

4、坡角与坡度

（1）坡角：坡面与水平面所成的二面角的度数（如图④，角θ为坡角）．

（2）坡度：坡面的铅直高度与水平长度之比（如图④，i为坡度）．坡度又称为坡比．

解题方法总结

1、方法技巧：解三角形多解情况

在△ABC中，已知a，b和A时，解的情况如下：

A为锐角

A为钝角或直角

图形

关系式

解的个数

一解

两解

一解

一解

无解

2、在解三角形题目中，若已知条件同时含有边和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要选择“边化角”或“角化边”，变换原则常用：

（1）若式子含有的齐次式，优先考虑正弦定理，“角化边”；

（2）若式子含有的齐次式，优先考虑正弦定理，“边化角”；

（3）若式子含有的齐次式，优先考虑余弦定理，“角化边”；

（4）代数变形或者三角恒等变换前置；

（5）含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理使用；

（6）同时出现两个自由角（或三个自由角）时，要用到．

3、三角形中的射影定理

在中，；；．

【典型例题】

题型一：应用正弦、余弦定理解三角形

【典例11】已知的面积为，则（????）

A．13 B．14 C．17 D．15

【典例12】的内角，，的对边分别为，，，的面积为，且，，则边（???）

A． B． C． D．

【变式11】在中内角所对边分别为，若，则（????）

A． B． C． D．

【变式12】在中，，则的长为（????）

A． B．4 C． D．5

【变式13】在中，，若最大边的边长为，则最小边的长为（????）

A． B． C． D．

题型二：判断三角形的形状

【典例21】在中，若，则的形状为（????）

A．等腰三角形 B．直角三角形

C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形

【典例22】在中，（分别为角的对边），则的形状为（????????）

A．正三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等腰三角形或直角三角形

【变式21】已知的三内角所对的边分别是，设向量，若，则的形状是（????）

A．直角三角形 B．等腰三角形

C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形

【变式22】中，角的对边分别为，且，则的形状是（????）

A．等腰三角形

B．等腰三角形或直角三角形

C．等腰直角三角形

D．直角三角形

【变式23】在中，内角，，的对边分别为，，，且，，则（????）

A．为直角三角形 B．为锐角三角形

C．为钝角三角形 D．的形状无法确定

题型三：正弦、余弦定理在实际中的应用

【典例31】圣·索菲亚教堂是哈尔滨的标志性建筑，其中央主体建筑集球、圆柱、棱柱于一体，极具对称之美．为了估算圣．索菲亚教堂的高度，某人在教堂的正东方向找到一座建筑物AB，高约为36m，在它们之间的地面上的点M（B，M，D三点共线）处测得建筑物顶A、教堂顶C的仰角分别是45°和60°，在建筑物顶A处测得教堂顶C的仰角为15°，则可估算圣．索菲亚教堂的高度CD约为．

【典例32】如图，为测量山高，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点．从A点测得M点的仰角，C点的仰角以