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高中数学联赛真题汇编——平面几何

〔1978T6〕如图，设线段AB的中点为M，从线段AB上的另一点C向直线AB的一侧引线段CD，令线段CD的中点为N，BD的中点为P，MN的中点为Q，求证：直线PQ平分线段AC．

证明：连NP，取AC中点O，那么由于N、P分别为CD、BD中点，故NP∥AB，NP=eq\f(1,2)BC=eq\f(1,2)(AB－AC)=AM=AO=OM．

∴NPMO为平行四边形．即PO经过MN中点Q．即直线PQ平分线段AC．

〔1978二试1〕四边形两组对边延长后分别相交，且交点的连线与四边形的一条对角线平行，证明：另一条对角线的延长线平分对边交点连成的线段．

证明：如下图，BD∥EF，作BG∥ED交AC于G，那么

eq\f(AG,AC)=eq\f(AB,AE)=eq\f(AD,AF)，从而GD∥BC，即BCDG为平行四边形．P为BD中点，从而Q为EF中点．

〔1978二试4〕设ABCD为任意给定的四边形，边AB、BC、CD、CA的中点分别为E、F、G、H，证明：四边形ABCD的面积≤EG?HF≤eq\f(1,2)(AB+CD)?eq\f(1,2)(AD+BC)．

证明：连EF、FG、GH、HE，取BD中点P，连EP、PG．

易证S四边形EFGH=eq\f(1,2)S四边形ABCD．

而S四边形EFGH=eq\f(1,2)EG?HFsin∠EOF≤eq\f(1,2)EG?HF．

但EP=eq\f(1,2)AD，PG=eq\f(1,2)BC．EP+PG≥EG，故eq\f(1,2)(AD+BC)≥EG，

同理，eq\f(1,2)(AB+CD)≥HF．故EG?HF≤eq\f(1,2)(AB+CD)?eq\f(1,2)(AD+BC)，

从而，四边形ABCD的面积≤EG?HF≤eq\f(1,2)(AB+CD)?eq\f(1,2)(AD+BC)．

〔1978二试6〕设有一个边长为1的正方形，试在这个正方形的内接正三角形中找出一个面积最大的和一个面积最小的，并求出这两个面积．(须证明你的论断)

解：如图，设△EFG是正方形ABCD的一个内接正三角形．且E、F分别在一组对边AD、BC上，取EF中点M，连MG．那么∠GME=∠GAE=90°，于是A、G、M、E四点共圆．∴∠MAG=∠MEG=60°，同理，∠MBG=60°，即△MAB为正三角形．于是M为定点，故1=AB≤EF≤ABsec15°=eq\r(6)－eq\r(2)．

∴eq\f(eq\r(3),4)≤S△EFG≤2eq\r(3)－3．

(1979T3)在△ABC中，∠A为钝角，求作一个面积最小的圆，把△ABC完全盖住．

解：以BC为直径作⊙O，那么⊙O即为所求的最小圆．

首先，BC是△ABC的最长边，对于任意直径小于BC的圆，不可能盖住BC．(假设能盖住，那么得到圆的弦长大于同圆的直径，这是不可能的)

其次，由于∠A90?，故点A在圆内．即此圆盖住了△ABC．故证．

(1979T4)圆的两条非直径的弦相交，求证：它们不能互相平分．

证明：设⊙O的弦AB、CD互相平分于点M，连OM，那么由M是弦AB中点．

∴OM⊥AB，同理OM⊥CD．于是过点M可能作OM的两条垂线，这是不可能的．

故证．

〔1979二试2〕命题“一对对边相等及一对对角相等的四边形必为平行四边形”对吗？如果对，请证明，如果不对，请作一四边形，满足条件，但它不是平行四边形．并证明你的作法．

证明：不对，如图，作△ABD，及过B、A、D三点的弧，以BD为轴作此弧的对称图形，以D为圆心，AB为半径作弧与所作对称弧有两个不同的交点C、C?，那么四边形ABCD、ABC?D都是有一组对边相等，一组对角相等的四边形，其中有一个不是平行四边形．

〔1979二试4〕在单位正方形周界上任意两点间连了一条曲线，如果它把正方形分成两个面积相等的两局部，试证这条曲线的长度不小于1．

证明设M、N是单位正方形周界上两点，曲线MN把正方形的面积两等分．

1?假设M、N分别在正方形的对边上(图1)，于是曲线MN≥线段MN≥1．

2?假设M、N分别在正方形的一组邻边上(图2)．连对角线AC，那么曲线MN必与AC相交(假设不相交，那么曲线MN全部在AC的一边，它不可能平分正方形的面积)，设其中一个交点为P，作曲线的PN段关于AC的对称曲线PN’，那么点M、N’在正方形的一组对边上，而曲线MN’的长度等于曲线MN的长度．于是化归为情形1?．

3?假设M、N分别在正方形的一条边AB上(图3)．连对边AD、BC的中点EF，那么曲线MN必与EF相交(理由同上)，设其中一个交点为P，作曲线的PN段关于EF的对称曲线PN’，那么点M、