2025年高考数学二轮复习新定义题型01 压轴小题全面归纳与解析（讲义）（原卷版）.docx

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新定义题型01压轴小题全面归纳与解析

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01考情透视·目标导航 2

02知识导图·思维引航 3

03知识梳理·方法技巧 4

04真题研析·精准预测 5

05核心精讲·题型突破 6

题型一：集合新定义 6

题型二：函数与导数新定义 7

题型三：立体几何新定义 9

题型四：三角函数新定义 10

题型五：平面向量与解三角形新定义 13

题型六：数列新定义 14

题型七：圆锥曲线新定义 15

题型八：概率与统计新定义 17

重难点突破：高等数学背景下新定义 19

创新意识与创新应用是当下时代的重要主题，也是高中数学教学和学习过程中应当持续融入与培育的基本精神和能力。通过引入“新定义”，我们能够巧妙地促进数学知识中概念的类比理解、公式的创新设立、性质的灵活应用以及知识的拓展与创新实践等方面的融合与交汇，从而有效融入创新意识与创新应用的培养。

“新定义”型问题，具体指的是那些在问题中提出了高中数学课程中未曾涉及的一些新概念、新运算方法或新符号，要求学生能够准确理解题意，并结合自身已有的知识和能力，根据这些新定义进行相应的运算、逻辑推理以及知识迁移的一类题型。换言之，这类问题要求学生具备根据新定义进行思维拓展和问题解决的能力。

考点要求

目标要求

考题统计

考情分析

圆锥曲线新定义

掌握新定义，运用性质解题

2024年I卷第11题，6分

对于2025年新高考试卷中的新定义问题，预测其将继续考察学生的创新思维与知识应用能力。题目可能会引入新的数学概念、运算或符号，要求学生理解并运用这些新定义进行推理和解答，以检验其综合数学素养。

1、代数型新定义问题的主要考察方式：

（1）新定义的概念考查；

（2）新定义的运算方式考查；

（3）新定义的规则应用考查。

2、解决“新定义”问题的策略：

解决这类问题时，核心在于准确捕捉新定义中的关键信息，如新概念、新公式、新性质等，并明确其名称、符号及法则。接着，将这些信息与已有知识点进行对比，找出相似之处和差异点，从而确定解题思路。最后，运用相关数学技巧和方法进行分析求解，并合理归纳结果。

1．（多选题）（2024年新课标全国Ⅰ卷数学真题）设计一条美丽的丝带,其造型可以看作图中的曲线C的一部分.已知C过坐标原点O.且C上的点满足:横坐标大于，到点的距离与到定直线的距离之积为4，则（????）

A． B．点在C上

C．C在第一象限的点的纵坐标的最大值为1 D．当点在C上时，

题型一：集合新定义

【典例1-1】已知集合，设，令表示集合所含元素的个数，则.

【典例1-2】已知有限集合，定义集合中的元素的个数为集合的“容量”，记为.若集合，则；若集合，且，则正整数的值是.

【变式1-1】设，为两个非空实数集合，定义集合，若，，则集合的子集的个数为．

【变式1-2】定义集合的商集运算为：，已知集合，，则集合的真子集个数是.

1．若平面点集满足：任意点，存在，都有，则称该点集是阶聚合点集．

①若，则是3阶聚合点集

②存在对任意正数，使不是阶聚合点集

③若，则不是阶聚合点集

④“”是“是阶聚合点集”的充要条件

其中所有正确结论的序号是.

题型二：函数与导数新定义

【典例2-1】定理：如果函数及满足：①图象在闭区间上连续不断；②在开区间内可导；③对，那么在内至少有一点，满足成立，该定理称为柯西中值定理.请利用该定理解决下面问题：已知，若存在正数，满足，则实数的取值范围为（????）

A． B．

C． D．

【典例2-2】英国数学家牛顿在17世纪给出了一种求方程近似根的方法—牛顿迭代法，做法如下：如图，设是的根，选取作为的初始近似值，过点作曲线的切线，则与轴的交点的横坐标，称是的第一次近似值；过点作曲线的切线，则该切线与轴的交点的横坐标为，称是的第二次近似值；重复以上过程，得的近似值序列，其中，称是的次近似值，这种求方程近似解的方法称为牛顿迭代法.若使用该方法求方程的近似解，则下列正确的是（????）

??

A．若取初始近似值为1，则过点作曲线的切线

B．若取初始近似值为1，则该方程解的第二次近似值为

C．

D．

【变式2-1】函数，其中，是常数，其图象是一条直线，称这个函数为线性函数，对于非线性可导函数，在点附近一点的函数值，可以用如下方法求其近似代替值：.利用这一方法，的近似代替值（????）

A．一定大于 B．一定小于

C．等于 D．与的大小关系不确定

【变式2-2】对于三次函数，现给出定义：设是函数的导数，是的导数，若方程有实数解，则称点为函数的