2025年高考数学二轮复习新定义题型02 压轴解答题的深度剖析与策略归纳（讲义）（解析版）.docx

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新定义题型02压轴解答题的深度剖析与策略归纳

目录TOC\o1-4\h\u

01考情透视·目标导航 2

02知识导图·思维引航 3

03知识梳理·方法技巧 4

04真题研析·精准预测 5

05核心精讲·题型突破 13

题型一：集合新定义 13

题型二：函数与导数新定义 18

题型三：立体几何新定义 25

题型四：三角函数新定义 34

题型五：平面向量与解三角形新定义 45

题型六：数列新定义 52

题型七：圆锥曲线新定义 57

题型八：概率与统计新定义 67

重难点突破：高等数学背景下新定义 75

创新意识与创新应用是新时代的主旋律，也是高中数学教学与学习中需要不断渗透与培养的一种基本精神与能力！借助“新定义”，可以巧妙进行数学知识中的概念类比、公式设置、性质应用、知识拓展与创新应用等的交汇与融合，很好地融入创新意识与创新应用.

所谓“新定义”型问题，主要是指在问题中定义了高中数学中没有学过的一些概念、新运算、新符号，要求同学们读懂题意并结合已有知识、能力进行理解，根据新定义进行运算、推理、迁移的一种题型。

考点要求

目标要求

考题统计

考情分析

数列新定义

理解概念，掌握应用，提升思维。

2024年=1\*ROMANI卷第19题，17分

2024年北京卷第21题，15分

2023年北京卷第21题，15分

2022年北京卷第21题，15分

2021年北京卷第21题，15分

预测2025年新高考试卷第19题结构考查数列新定义问题，压轴题，难度比较大．

1、代数型新定义问题的常见考查形式

（1）概念中的新定义；

（2）运算中的新定义；

（3）规则的新定义等．

2、解决“新定义”问题的方法

在实际解决“新定义”问题时，关键是正确提取新定义中的新概念、新公式、新性质、新模式等信息，确定新定义的名称或符号、概念、法则等，并进行信息再加工，寻求相近知识点，明确它们的共同点和不同点，探求解决方法，在此基础上进行知识转换，有效输出，合理归纳，结合相关的数学技巧与方法来分析与解决！

1．（2024年新课标全国=1\*ROMANI卷数学真题）设m为正整数，数列是公差不为0的等差数列，若从中删去两项和后剩余的项可被平均分为组，且每组的4个数都能构成等差数列，则称数列是可分数列．

（1）写出所有的，，使数列是可分数列；

（2）当时，证明：数列是可分数列；

（3）从中一次任取两个数和，记数列是可分数列的概率为，证明：．

【答案】（1）（2）证明见解析（3）证明见解析

【解析】

【分析】（1）直接根据可分数列的定义即可；

（2）根据可分数列的定义即可验证结论；

（3）证明使得原数列是可分数列的至少有个，再使用概率的定义.

【小问1详解】

首先，我们设数列的公差为，则.

由于一个数列同时加上一个数或者乘以一个非零数后是等差数列，当且仅当该数列是等差数列，

故我们可以对该数列进行适当的变形，

得到新数列，然后对进行相应的讨论即可.

换言之，我们可以不妨设，此后的讨论均建立在该假设下进行.

回到原题，第1小问相当于从中取出两个数和，使得剩下四个数是等差数列.

那么剩下四个数只可能是，或，或.

所以所有可能的就是.

【小问2详解】

由于从数列中取出和后，剩余的个数可以分为以下两个部分，共组，使得每组成等差数列：

①，共组；

②，共组.

（如果，则忽略②）

故数列是可分数列.

【小问3详解】

定义集合，.

下面证明，对，如果下面两个命题同时成立，

则数列一定是可分数列：

命题1：或；

命题2：.

我们分两种情况证明这个结论.

第一种情况：如果，且.

此时设，，.

则由可知，即，故.

此时，由于从数列中取出和后，

剩余的个数可以分为以下三个部分，共组，使得每组成等差数列：

①，共组；

②，共组；

③，共组.

（如果某一部分的组数为，则忽略之）

故此时数列是可分数列.

第二种情况：如果，且.

此时设，，.

则由可知，即，故.

由于，故，从而，这就意味着.

此时，由于从数列中取出和后，剩余的个数可以分为以下四个部分，共组，使得每组成等差数列：

①，共组；

②，，共组；

③全体，其中，共组；

④，共组.

（如果某一部分的组数为，则忽略之）

这里对②和③进行一下解释：将③中的每一组作为一个横排，排成一个包含个行，个列的数表以后，个列分别是下面这些数：

，，，

可以看出每列都是连续的若干个整数，它们再取并以后，将取遍中除开五个集合，，，，中的十个元素以外的所有数.

而这十个数中，除开已经去掉的和以外，剩余的八个数恰好就是②中出现的八个数.

这就说明我们给出的分组方式满足要求，故此时数列是可分