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2024年浙江省杭州市建德市选拔招生数学试卷

一、选择题：（共5题，每题4分，共20分）

1．（4分）已知a是方程x3+2x﹣1＝0的一个实数根，则直线y＝ax+a﹣1不经过（）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

2．（4分）电线杆上有一盏路灯O，电线杆与三个等高的标杆整齐划一地排列在马路的一侧，AB、CD、EF是三个标杆，已知AB、CD在灯光下的影长分别为BM＝1.6m，DN＝0.6m．则标杆EF的影长为（）

A．1.2 B．0.8 C．0.4 D．0.2

3．（4分）如果正整数x、y、z满足x2+y2+z2＝2016，则x+y+z＝（）

A．72 B．78 C．82 D．93

4．（4分）如图，设AD，BE，若AB＝6，BC＝5，则线段BE的长为（）

A． B．4 C． D．

5．（4分）一个正整数若能表示成两个正整数的平方差，则称这个正整数为“杨梅数”．例如，16＝52﹣32就是一个“杨梅数”．则把所有的“杨梅数”从小到大排列后，第47个“杨梅数”是（）

A．97 B．95 C．64 D．65

二、填空题（共6题，每题6分，共36分）

6．（6分）用一个平面去截一个正方体，可以得到的几边形：．

7．（6分）实数x、y满足x2﹣2x﹣4y＝5，记t＝x﹣2y，则t的最大值为．

8．（6分）如果，则sin2A＝．

9．（6分）设p是给定的奇质数，正整数k使得也是一个正整数．（结果用含p的代数式表示）

10．（6分）如图，对面积为1的△ABC逐次进行以下操作：第一次操作，分别延长AB，CA至点A1，B1，C1，使得A1B＝2AB，B1C＝2BC，C1A＝2CA，顺次连接A1，B1，C1，得到△A1B1C1，记其面积为S1；第二次操作，分别延长A1B1，B1C1，C1A1至点A2，B2，C2，使得A2B1＝2A1B1，B2C1＝2B1C1，C2A1＝2C1A1，顺次连接A2，B2，C2，得到△A2B2C2，记其面积为S2；…；按此规律继续下去，可得到△A5B5C5，则其面积S5＝．

11．（6分）如果正数x、y、z可以是一个三角形的三边长，那么称（x，y，z）是三角形数．若（a，b，c）和，且a≤b≤c，则的取值范围是．

三、解答题（64分）

12．如图，PA为⊙O的切线，PBC为⊙O的割线，证明：AD2＝BD?CD．

13．已知关于x的一元二次方程（20n2+14n）2x2+4kn2x+1＝0（n＞0）有两个正实数根x1，x2，且x2＝2x1．

（1）求k关于n的表达式；

（2）若n为正整数，求k的取值范围．

14．已知a，b，c为三个非负数，且满足3a+2b+c＝5

（1）求c的取值范围；

（2）设S＝3a+b﹣7c，求S的最大值和最小值．

15．已知：如图，在半径为4的⊙O中，AB、CD是两条直径，CM的延长线交⊙O于点E，且EM＞MC．连接DE．

（1）求EM的长；

（2）求sin∠EOB的值．

16．如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y＝x+和直线l2：y＝﹣x+b相交于y轴上的点B，且分别交x轴于点A和点C．

（1）求△ABC的面积；

（2）点E坐标为（5，0），点F为直线l1上一个动点，点P为y轴上一个动点，求当EF+CF最小时，并求出此时PF+OP的最小值；

（3）将△OBC沿直线l1平移，平移后记为△O1B1C1，直线O1B1交l2于点M，直线B1C1交x轴于点N，当△B1MN为等腰三角形时，请直接写出点C1的横坐标．

2024年浙江省杭州市建德市选拔招生数学试卷

参考答案与试题解析

题号

1

2

3

4

5

答案

B

C

A

D

D

一、选择题：（共5题，每题4分，共20分）

1．（4分）已知a是方程x3+2x﹣1＝0的一个实数根，则直线y＝ax+a﹣1不经过（）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【解答】解：由a是方程x3+2x﹣5＝0的一个实数根，则有a3+6a﹣1＝0，显然a≠3，

通过变形得a（a2+2）＝7，

因为a2+2＞6，

所以，

∴，

故y＝ax+a﹣1随着x的增大而增大，且交y轴于负半轴，

故选：B．

2．（4分）电线杆上有一盏路灯O，电线杆与三个等高的标杆整齐划一地排列在马路的一侧，AB、CD、EF是三个标杆，已知AB、CD在灯光下的影长分别为BM＝1.6m，DN＝0.6m．则标杆EF的影长为（）

A．1.2 B．0.8 C．0.4 D．0.2

【解答】解：作射