第十一节导数切线放缩问题总结讲义-高二下学期数学人教A版选择性（答案详解）.docx

第十一节专题:导数的切线放缩问题

重点题型专练

【1】?e,+∞

解析:方法1:切线法

?

即y=ex的图像在

又因为∵

即y=ex与y

只需要?a

方法2:分离参数法

原题等价于?x

①x=0时,f

②x0时,a?exx

令gx=?exx

∴gx在(0,1)上递增,在[

∴g

【2】[

解析:方法1:切线法

?

即?x

即y=lnx在y

又∵x0时,

∴只需m?1≥?1

方法2:分离参数法

?x0,ln

令gx=lnx?x

∴gx在(0,1)上递增,在[1,+∞)

【3】e,+∞解析:切线法:即y=ax与y=ln

∵x0时,lnx≤

【4】[

解析:

切线法:

∵?x

令t=

即?t

即?t

即y=lnt在y

∵t

lnt≤t?1

【5】详见解析解析:

方法1:单独放缩lnx证明:当x0时,lnx≤x?1(放缩),∴ex?lnx≥ex?x?1,只需证x0时,ex?x?12

方法2:单独放缩ex

证明:当x0时,exx+1(放缩),∵ex≥x+1∴ex?lnxx+1?lnx,故只需证x0时,x

方法3:同时放缩ex与lnx

证明:当x0时,ex

【6】证明见解析:因为m≤2,要证fx0,只要满足ex?lnx+20即可.设gx=ex?lnx+2,则只需证明gx=ex?lnx+20即可.事实上,当x0时,lnx≤x?1,故

解析:∵x0时,

令?x=1?xlnx?x

∵?

令?′x0得lnx?2,∴0

∴?xmax=?e?2

【8】ABD

解析:对于A,设fx=1?1

当x1时,f

当0x1时,

所以当x=1时,函数有最大值,

即fx=1?1x?lnx

对于B,设Fx=x?1

当x1时,F

当0x1时,

所以当x=1时,函数有最小值,

即Fx=x?1?lnx≥

对于C,设gx=ex?

当x0时,g′x0,gx

所以当x=0时,函数有最小值,

即gx=ex?x

对于D,设Gx

因为0xπ,所以

所以当0xπ时,有GxG0=0,即

【9】BD

解析:A选项,令fx=ln

f

当0x3时,f′x

又f0=0,∴

B选项,令fx

则f′x

所以fx=ln

又f1=0,所以当x∈0,1时,fxf

C选项,当x=3时,e31+3+32

D选项,令fx=cosx?1

令?x=f′x=?sin

f′x

又f′0=0,所以当x0时,f

当x0时,f′x0

f

因此cosx≥1?12x

【10】证明见解析

解析:

(1)令fx=sinx?x

所以fx在0,π2单调递减,故fx

(2)令gx

则g

=

由(1)知xsin

∴g

则gx在0,π2单调递增,故gx

(3)令?x

则?′

由(2)知:3xtanx+2sin

则

?

=1

所以?x在0,π2单调递增,故?x

【11】(1)单调递增区间为(0,1),单调递减区间为1,+∞

(1)由题意,函数fx=lnx?x+1

f

当x1时,f′x0;当0x1时,f′x0.所以fx在(0,1)上单调递增,在1,+∞上单调递减,即fx的单调递增区间为(0,1),单调递减区间为1,+∞;(2)证明:由(1)得fx在(0,1)上单调递增,在1,+∞上单调递减,所以fx

即x+120

【12】详见解析

解析:

∵点1,f

∴f

∵点(1,e)在曲线上∴

∴f

(2)证明:(2)由(1)得fx

∵x0时,

即可证x+1?lnxx1,即证x

令gx=x2

∴gx

【13】(1)fx的单调递增区间是1,+∞,单调递减区间是(0,1)

(1)当a=1时,fx=2x

f

由f′x0可得x1;由

所以fx的单调递增区间是1,+∞

(2)设gx=lnx?x

由g′x0可得0x1;

所以gx在(0,1)上单调递增,在1,+∞

故gx≤g1=0,即

当且仅当x=1

要证fx≥0,即2x+a

因为a≥4,x0,所以

当且仅当x=2

因为①②取得等号的条件不同,所以当a≥4时,

【14】(1)m≥?1

解析:

(1)令Fx

则F

所以Fx在1,+∞上单调递减,在(0,1)上单调递增,Fx在