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以铜为镜，可以正衣冠；以古为镜，可以知兴替；以人为镜，可以明得失。——《旧唐书·魏征列传》
专题8.3三元一次方程组【七大题型】
【人教版】
【题型1三元一次方程（组）的解】
【题型2用消元法解三元一次方程组】
【题型3用换元法解三元一次方程组】
【题型4构建三元一次方程组解题】
【题型5运用整体思想求值】
【题型6三元一次方程组中的数字问题】
【题型7三元一次方程组的应用】
【知识点1三元一次方程组及解法】
1．三元一次方程组中的方程不一定都是三元一次方程组，并且有时需对方程化简后再根据
三元一次方程组的的定义进行判断．
2．解三元一次方程组的基本思想是消元，通过代入或加减消，使三元化为二元或一元，转
化为我们已经熟悉的问题．
3．当三元一次方程组中出现比例式时，可采用换元法解方程组．
【题型1三元一次方程（组）的解】
【例1】（2022·河南南阳七年级期中）我们探究得方程·ᵆ+ᵆ=2的正整数解只有1组，方
程ᵆ+ᵆ=3的正整数解只有2组，方程ᵆ+ᵆ=4的正整数解只有3组，……，那么方程
ᵆ+ᵆ+ᵆ=9的正整数解的组数是（）
A．27B．28C．29D．30
{
ᵆ=1
【变式1-1】（2022·浙江杭州市实验外国语学校七年级期中）已知·ᵆ=2是方程组
{ᵆ=3
ᵄᵆ+ᵄᵆ=2
ᵄᵆ+ᵅᵆ=3ᵄ+ᵄ+ᵅ
的解，则的值为（）
ᵅᵆ+ᵄᵆ=7
A．3B．2C．1D．0
【变式1-2】（2022·全国八·年级专题练习）方程ᵆ+2ᵆ+3ᵆ=14(ᵆᵆᵆ)的正整数解是
________．
【变式1-3】（2022·全国九·年级专题练习）三元一次方程x＋y＋z＝1999的非负整数解的个
数有（）
A个B个C．2001000个D．2001999个
1
士不可以不弘毅，任重而道远。仁以为己任，不亦重乎?死而后已，不亦远乎?——《论语》
【题型2用消元法解三元一次方程组】{
2ᵆ+3ᵆ―ᵆ=18
【例2】（2022·贵州铜仁市第十一中学七年级阶段练习）方程组·3ᵆ―2ᵆ+ᵆ=8的解
ᵆ+2ᵆ+ᵆ=24
________．
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