2024高中数学第三章直线与方程3.3直线的交点坐标与距离公式第2课时点到直线的距离两条平行线间的距离讲义含解析新人教A版必修2.docVIP

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第2课时点到直线的距离、两条平行线间的距离

[核心必知]

1．预习教材，问题导入

依据以下提纲，预习教材P106～P109，回答下列问题：

(1)如何用代数方法求点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离？

提示：由P0Q⊥l，以及直线l的斜率为－eq\f(A,B)，可得l的垂线P0Q的斜率为eq\f(B,A)，因此，垂线P0Q的方程可求出．解垂线P0Q与直线l的方程组成的方程组，得点Q的坐标，用两点间距离公式求出|P0Q|，即为点P0到直线l的距离．

(2)能否将平行直线间的距离转化为点到直线的距离，如何转化？

提示：能，由于一条直线上随意一点到另一条直线的距离都是两条平行直线间的距离，所以只要在一条直线上找到一个已知点，求这点到另一条直线的距离即可．

2．归纳总结，核心必记

(1)点到直线的距离

①概念：过一点向直线作垂线，则该点与垂足之间的距离，就是该点到直线的距离．

②公式：点P(x0，y0)到直线l:Ax＋By＋C＝0的距离，d＝eq\f(|Ax0＋By0＋C|,\r(A2＋B2)).

(2)两平行直线间的距离

①概念：夹在两条平行直线间的公垂线段的长度就是两条平行直线间的距离．

②公式：两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0之间的距离d＝eq\f(|C1－C2|,\r(A2＋B2)).

[问题思索]

1．在运用点到直线的距离公式时，对直线方程的形式有何要求？

提示：应用点到直线距离公式的前提是直线方程为一般式．

2．在运用两平行线间距离公式时，对直线方程的形式有何要求？

提示：两直线的方程为一般式且x，y的系数分别相同．

[课前反思]

通过以上预习，必需驾驭的几个学问点．

(1)点到直线的距离公式是什么？应留意什么？

；

(2)两平行直线间的距离公式是什么？应留意什么？

.

在铁路的旁边，有一大型仓库，现要修建一条马路与之连接起来，易知，从仓库垂直于铁路方向所修的马路最短．将铁路看作一条直线l，仓库看作点P.

[思索1]若已知直线l的方程和点P的坐标(x0，y0)，如何求P到直线l的距离？

名师指津：过点P作直线l′⊥l，垂足为Q，|PQ|即为所求的距离．直线l的斜率为k，则l′的斜率为－eq\f(1,k)，∴l′的方程为y－y0＝－eq\f(1,k)(x－x0)，联立l，l′的方程组，解出Q点坐标，利用两点间距离公式求出|PQ|.

[思索2]在直角坐标系中，若P(x0，y0)，则P到直线l:Ax＋By＋C＝0的距离是不是过点P到直线l的垂线段的长度？

提示：是．

[思索3]应用点到直线的距离公式应留意什么问题？

名师指津：(1)直线方程应为一般式，若给出其他形式，应先化成一般式再用公式．例如求P(x0，y0)到直线y＝kx＋b的距离，应先把直线方程化为kx－y＋b＝0，得d＝eq\f(|kx0－y0＋b|,\r(k2＋1)).

(2)点P在直线l上时，点到直线的距离为零，公式仍旧适用，故应用公式时不必判定点P与直线l的位置关系．

(3)直线方程Ax＋By＋C＝0中A＝0或B＝0时，公式也成立，也可以用下列方法求点到直线的距离．

①P(x0，y0)到x＝a的距离d＝|a－x0|；

②P(x0，y0)到y＝b的距离d＝|b－y0|.

讲一讲

1．(1)在平面直角坐标系xOy中，点P(2,2)到直线4x＋3y＋5＝0的距离为________．(链接教材P107－例5)

(2)求垂直于直线x＋3y－5＝0且与点P(－1,0)的距离是eq\f(3,5)eq\r(10)的直线l的方程．

[尝试解答](1)由点到直线的距离公式可得d＝eq\f(|4×2＋3×2＋5|,\r(42＋32))＝eq\f(19,5).

(2)设与直线x＋3y－5＝0垂直的直线的方程为3x－y＋m＝0，则由点到直线的距离公式知：

d＝eq\f(|3×?－1?－0＋m|,\r(32＋?－1?2))＝eq\f(|m－3|,\r(10))＝eq\f(3,5)eq\r(10).

所以|m－3|＝6，即m－3＝±6.

得m＝9或m＝－3，

故所求直线l的方程为3x－y＋9＝0或3x－y－3＝0.

[答案](1)eq\f(19,5)

点到直线的距离的求解方法

(1)求点到直线的距离时，只需把直线方程化为一般式方程，干脆应用点到直线的距离公式求解即可．

(2)对于与坐标轴平行(或重合)的直线x＝a或y＝b，求点到它们的距离时，既可以用点到直线的距离公式，也可以干脆写成d＝|x0－a|或d＝|y0－b|.

(3)若已知点到直线的距离求参数时，只需依据点到直线的距离公式列方程求解参数即可．

练一练

1．已知点A(a,2)(a＞0)到直线l: