2024年高考数学一轮复习专题21函数y=Asinwx+φ的图象及应用含解析.docVIP

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专题21函数y=Asin（wx+φ）的图象及应用

必威体育精装版考纲

1.了解函数y＝Asin(ωx＋φ)的物理意义；能画出y＝Asin(ωx＋φ)的图象．

2.了解参数A，ω，φ对函数图象改变的影响．

3.会用三角函数解决一些简洁实际问题，体会三角函数是描述周期改变现象的重要函数模型.

基础学问融会贯穿

1．y＝Asin(ωx＋φ)的有关概念

y＝Asin(ωx＋φ)(A0，ω0)，x∈R

振幅

周期

频率

相位

初相

A

T＝eq\f(2π,ω)

f＝eq\f(1,T)＝eq\f(ω,2π)

ωx＋φ

φ

2.用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)(A0，ω0，x∈R)一个周期内的简图时，要找五个特征点

如下表所示：

x

eq\f(0－φ,ω)

eq\f(\f(π,2)－φ,ω)

eq\f(π－φ,ω)

eq\f(\f(3π,2)－φ,ω)

eq\f(2π－φ,ω)

ωx＋φ

0

eq\f(π,2)

π

eq\f(3π,2)

2π

y＝Asin(ωx＋φ)

0

A

0

－A

0

3.函数y＝sinx的图象经变换得到y＝Asin(ωx＋φ)(A0，ω0)的图象的两种途径

【学问拓展】

1．函数y＝Asin(ωx＋φ)＋k图象平移的规律：“左加右减，上加下减”．

2．由y＝sinωx到y＝sin(ωx＋φ)(ω0，φ0)的变换：向左平移eq\f(φ,ω)个单位长度而非φ个单位长度．

3．函数y＝Asin(ωx＋φ)的对称轴由ωx＋φ＝kπ＋eq\f(π,2)，k∈Z确定；对称中心由ωx＋φ＝kπ，k∈Z确定其横坐标．

重点难点突破

【题型一】函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及变换

【典型例题】

已知向量（cosx，），（sinx，cos2x），x∈R，设函数f（x）?．

（1）求f（x）的表达式并完成下面的表格和画出f（x）在[0，π]范围内的大致图象；

0

π

x

0

π

f（x）

（2）若方程f（x）﹣m＝0在[0，π]上有两个根α、β，求m的取值范围及α+β的值．

【解答】解：（1）f（x）sin2xcos2x＝sin（2x），

0

π

x

0

π

f（x）

0

1

0

﹣1

如图示：

（2）由图可知m∈（﹣1，）∪（，1），

或，

∴或．

【再练一题】

将函数y＝sin2x的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数y＝f（x）的图象，则（）

A．y＝f（x）的图象关于直线对称

B．f（x）的最小正周期为

C．y＝f（x）的图象关于点对称

D．f（x）在单调递增

【解答】解：函数y＝sin2x的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，可得：y＝sinx，

即f（x）＝sinx．

依据正弦函数的图象及性质：可知：对称轴x，∴A不对．

周期T＝2π，∴B不对．

对称中心坐标为：（kπ，0），∴C不对．

单调递增区间为[]，k∈Z，∴f（x）在单调递增．

故选：D．

思维升华(1)y＝Asin(ωx＋φ)的图象可用“五点法”作简图得到，可通过变量代换z＝ωx＋φ计算五点坐标．

(2)由函数y＝sinx的图象通过变换得到y＝Asin(ωx＋φ)图象有两条途径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”．

【题型二】由图象确定y＝Asin(ωx＋φ)的解析式

【典型例题】

函数y＝2sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的部分图象如图所示．则f（π）＝（）

A．1 B． C． D．2

【解答】解：依据函数y＝2sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的部分图象，

可得：T?，

解得：ω＝2，

由于点（，2）在函数图象上，可得：2sin（2φ）＝2，可得：2φ＝2kπ，k∈Z，

解得：φ＝2kπ，k∈Z，

由于：0＜φ＜π，

可得：φ，即y＝2sin（2x），

可得：f（π）＝2sin（2π）＝1．

故选：A．

【再练一题】

函数y＝2sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的部分图象如图所示．则函数f（x）的单调递增区间为（）

A． B．

C． D．

【解答】解：依据函数y＝2sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的部分图象，

可得：T?，

解得：ω＝2，

由于点（，2）在函数图象上，可得：2sin（2φ）＝2，可得：2φ＝2kπ，k∈Z，

解得：φ＝2kπ，k∈Z，

由于：0＜φ＜π，

可得：φ，即y＝2sin（2x），

令2kπ2x2kπ，k∈Z，解得：kπx≤kπ，k∈Z，

可得：则函数f（x）的单调递增区间为：[kπ，kπ]，k∈Z．

故选：C．

思维升华y＝Asin(ωx＋φ)中φ的确定方法

(1)代入法：把图象上的一个已知点代入(此时要留意该点在上升区间上还是在下降区间上)或把图象的最