向量的减法运算学案.docx

6．2.2向量的减法运算学案

学习目标

1．借助实例和平面向量的几何表示，理解相反向量的含义、向量减法的意义．

2.掌握向量减法的几何意义．

3.能熟练地进行向量的加、减综合运算．

情境导入

如图所示，向量eq\o(AD,\s\up6(→))是向量eq\o(AB,\s\up6(→))与向量x的和．

你能作出向量x吗？

新知探究

知识点一向量的减法运算

问题引导

1.在数的运算中，减法是加法的逆运算，它的运算法则是什么？

知识点总结

1．相反向量

与向量a长度相等，方向相反的向量，叫做a的相反向量，记作－a.

2．向量的减法

向量a加上b的相反向量，叫做a与b的差，即a－b＝a＋(－b)，因此减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量，求两个向量差的运算叫做向量的减法．

典例探究

例1(多选)若非零向量m与n是相反向量，则下列正确的是()

A．m＝n B．m＝－n

C．|m|＝|n| D．m与n方向相反

变式训练

1．(2024·简阳市校级开学)在平行四边形ABCD中，化简eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(DC,\s\up6(→))＋eq\o(BA,\s\up6(→))＝________．

知识点二向量减法的几何意义

问题引导

2.如何进行向量的减法运算？

知识点总结

向量减法的几何意义

作法一：已知非零向量a，b，在平面内任取一点O，作eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，则eq\o(BA,\s\up6(→))＝a－b，如图所示．即a－b可以表示为从向量eq\o(□,\s\up1(1))b的终点指向向量eq\o(□,\s\up1(2))a的终点的向量．

作法二：(相反向量法)在平面内任取一点O，作eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，eq\o(OD,\s\up6(→))＝－b，连接AB．由向量减法的定义知a－b＝a＋(－b)＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OD,\s\up6(→))＝eq\o(OC,\s\up6(→)).在四边形OCAB中，OB綉CA，所以四边形OCAB是平行四边形，所以eq\o(BA,\s\up6(→))＝eq\o(OC,\s\up6(→))＝a－b.

典例探究

例2(链接教材P12例3)如图所示，已知正方形ABCD的边长等于1，设eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(BC,\s\up6(→))＝b，eq\o(AC,\s\up6(→))＝c，求作下列向量：

(1)a－b＋c，并求|a－b＋c|；

(2)a－b－c，并求|a－b－c|.

变式训练

2．如图所示，已知向量a，b，c，求作向量a－b－c.

思维提升

向量加减的混合运算

例3(1)已知正六边形ABCDEF，则eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→))－eq\o(FD,\s\up6(→))＝()

A．eq\o(BC,\s\up6(→)) B．eq\o(AE,\s\up6(→))

C．eq\o(BE,\s\up6(→)) D．eq\o(AC,\s\up6(→))

(2)(多选)下列结果为零向量的是()

A．eq\o(AB,\s\up6(→))＋(eq\o(BC,\s\up6(→))－eq\o(DC,\s\up6(→)))

B．eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→))－eq\o(CD,\s\up6(→))

C．eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OD,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))

D．eq\o(NO,\s\up6(→))＋eq\o(OP,\s\up6(→))＋eq\o(MN,\s\up6(→))－eq\o(MP,\s\up6(→))

变式训练

3．化简下列各式：

(1)eq\o(OM,\s\up6(→))－eq\o(ON,\s\up6(→))＋eq\o(MP,\s\up6(→))－eq\o(NA,\s\up6(→))；

(2)(eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(BM,\s\up6(→)))＋(eq\o(BC,\s\up6(→))－eq\o(MC,\s\up6(→)))．

思维提升

向量和与差的模

例4(1)若向量a，b满足|a|＝2，|b|＝5，则|a－b|的最大值为________；

(2)若向量a，b满足|a＋b|＝|a－b|＝2eq\r(2)，|a|＝eq\r(3)，则|b|＝_